Obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}} {n^{k+1}}}\)
przy wykorzystatniu twierdzenia Stoltza.
Twierdzenie Stoltza. Obliczyc granice.
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Twierdzenie Stoltza. Obliczyc granice.
Niech \(\displaystyle{ a_n=1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k}\) oraz \(\displaystyle{ b_n=n^{k+1}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ (a_n)}\) oraz \(\displaystyle{ (b_n)}\) są ciągami rosnącymi i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\infty}\). Zatem z twierdzenia Stolza
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}in^i}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)^k}{\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}in^{i-k}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)^k}{\binom{k+1}k+\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}in^{i-k}}=\\
=\frac1{\binom{k+1}k+\sum_{i=0}^{k-1}0}=\frac1{\binom{k+1}k}=\frac1{k+1}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ (a_n)}\) oraz \(\displaystyle{ (b_n)}\) są ciągami rosnącymi i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\infty}\). Zatem z twierdzenia Stolza
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}in^i}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)^k}{\sum_{i=0}^{k}\binom{k+1}in^{i-k}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)^k}{\binom{k+1}k+\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k+1}in^{i-k}}=\\
=\frac1{\binom{k+1}k+\sum_{i=0}^{k-1}0}=\frac1{\binom{k+1}k}=\frac1{k+1}}\)