Matematyka.pl

Przyjmując oznaczenia, jak na video

ułożyć układ równań odpowiadających genesis rysowanej krzywej
1. Obrót krzywej \(\displaystyle{ OPM}\).
2. Odległość \(\displaystyle{ P}\) od \(\displaystyle{ M}\) wynosi \(\displaystyle{ r.}\)
3. \(\displaystyle{ ON=a}\)
Na podstawie tego układu wyznacz równanie konchoidy

Nie potrafię tego wyznaczyć, ma ktoś jakiś pomysł?

Przyjmując oznaczenia jak na video - równanie biegunowe konchoidy Nikomedesa

jest równaniem prostej \(\displaystyle{ x = ON = a }\) we współrzędnych biegunowych:

\(\displaystyle{ R = \frac{a}{\cos(\theta)} \pm r, \ \ \theta \in \left(-\frac{1}{2}{\pi}, \ \ \frac{1}{2}\pi \right) \ \ (1) }\)

Równanie ogólne konchoidy Nikomedesa otrzymamy po podstawieniu:

\(\displaystyle{ R = \sqrt{x^2 +y^2} }\)

oraz

\(\displaystyle{ \cos(\theta) = \frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}} }\)

do równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ (x^2 +y^2)(x -a)^2 - r^2 x^2 = 0, \ \ r < a \ \ (2) }\)

Równanie zwyczajne krzywej otrzymujemy po rozwikłaniu równania \(\displaystyle{ (2) }\) względem zmiennej \(\displaystyle{ y.}\)

\(\displaystyle{ y = \mp \frac{x}{x- a}\sqrt{r^2 - (x-a)^2}.}\)

\(\displaystyle{ x\in [ a -r , a ) \cup ( a, \ \ a +r ]. }\)

Zauważmy, że konchoida Nkomedesa krzywą algebraiczną czwartego stopnia.

janusz47 pisze: ↑10 sty 2021, o 20:19Równanie zwyczajne krzywej otrzymujemy po rozwikłaniu równania \(\displaystyle{ (2) }\) względem zmiennej \(\displaystyle{ y.}\)

\(\displaystyle{ y = \mp \frac{x}{x- a}\sqrt{r^2 - (x-a)^2}.}\)

\(\displaystyle{ x\in [ a -r , a ) \cup ( a, \ \ a +r ]. }\)

Zauważmy, że konchoida Nikomedesa krzywą algebraiczną czwartego stopnia.

Tutaj musimy rozwikłać równanie, nie można jakoś inaczej tego rozwiązać?

Może uwzględnić tylko równania \(\displaystyle{ (1), \ \ (2) }\). Nie widzę innego sposobu rozwiązania.