Matematyka.pl

Mam zadanie następującej treści:

Niech algebra \(\displaystyle{ \alpha = (A, o_{1}, ... ,o_{n})}\) będzie algebrą wolną w klasie algebr podobnych K.
Niech \(\displaystyle{ a = (a_{1}, ... ,a_{n})}\) będzie dowolnym ciągiem jej różnych generatorów.

Udowodnić, że jeśli dla dowolnych funkcji algebraicznych \(\displaystyle{ f_{ \alpha }}\) i \(\displaystyle{ g_{ \alpha }}\) spełniony jest warunek \(\displaystyle{ f_{ \alpha }(a) = g_{ \alpha }(a)}\), to w każdej algebrze \(\displaystyle{ \beta}\) należącej do klasy K dla funkcji algebraicznych \(\displaystyle{ f_{ \beta }}\) i \(\displaystyle{ g_{ \beta }}\) odpowiadających funkcjom \(\displaystyle{ f_{ \alpha }}\) i \(\displaystyle{ g_{ \alpha }}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f_{ \beta } = g_{ \beta }}\)

Myślałem nad tym parę dni, coś popróbowałem, ale nie udało mi się tego udowodnić. Czy można poprosić o jakieś pokierowanie na rozwiązanie?

Jeśli \(\displaystyle{ (a_1, \ldots, a_n)}\) ma być tylko ciągiem różnych generatorów, to implikacja jest nieprawdziwa, o czym świadczy kontrprzykład: \(\displaystyle{ \alpha = (\ZZ, +)}\) jest grupą wolną generowaną przez układ \(\displaystyle{ (2, 3)}\) spełniający relację \(\displaystyle{ 2+2+2=3+3}\), ale oczywiście \(\displaystyle{ x \cdot x \cdot x = y \cdot y}\) nie jest tożsamością zachodzącą w każdej grupie.

Domyślam się przeto, że \(\displaystyle{ (a_1, \ldots, a_n)}\) ma być układem wolnych generatorów. Wtedy teza jest prawdziwa - rozważmy bowiem dowolną algebrę \(\displaystyle{ \beta \in K}\) i dowolny ciąg \(\displaystyle{ b = (b_1, \ldots, b_n)}\) elementów \(\displaystyle{ \beta}\). Wtedy istnieje homomorfizm \(\displaystyle{ \varphi : \alpha \to \beta}\), taki że \(\displaystyle{ \varphi(a) = b}\), a stąd

\(\displaystyle{ f_{\beta}(b) = f_{\beta}(\varphi(a)) = \varphi(f_{\alpha}(a)) = \varphi(g_{\alpha}(a)) = g_{\beta}(\varphi(a)) = g_{\beta}(b)}\)

czyli istotnie \(\displaystyle{ f_{\beta} = g_{\beta}}\).