Matematyka.pl

Cześć,
mam problem z pewnym zadaniem. Oto jego treść:
Niech ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\) , gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, będzie określony wzorem:
\(\displaystyle{ a_{0} = 0, a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} }\)
Udowodnić, że:
a) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_{i} = (n+1)( a_{n+1} - 1) }\)
b) \(\displaystyle{ a_{n} = 1 + \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} }\)

Zacząłem podpunkt a. Nie wiem jednak czy dobrze.
1. Sprawdzam dla \(\displaystyle{ n = 1}\):
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 = (1+1)(a_{2} - 1) }\)
\(\displaystyle{ 1 = 2 \cdot (1,5 - 1)}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1}\) Prawda
2. Założenie: \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} = (n+1)(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - 1) }\)
3. Teza: \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = (n+2)(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - 1) }\)
Następnie korzystając z założenia, lewą stronę równania zapisuję w postaci: \(\displaystyle{ (n+1)(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - 1) + \frac{1}{n+1} }\)
Próbowałem następnie wymnożyć nawiasy, ale nie wychodzi mi nic takiego co by mi jakoś pomogło (w sensie, nie widzę tego).
Czy ktoś mógłby mi jakoś pomóc? Z góry dziękuję.

dosmiko pisze: 7 sty 2021, o 12:522. Założenie: \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} = (n+1)(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - 1) }\)

Źle. Najwyraźniej nie rozumiesz, co oznacza symbol \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_{i}}\).

JK

Czy to będzie w takim razie takie założenie:
\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1)(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - 1) }\) ?

No skąd. Po ustaleniu \(\displaystyle{ n}\) założenie mówi, że dla tego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi równość

\(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n=(n+1)( a_{n+1} - 1).}\)

JK