Matematyka.pl

Boki trójkąta mają długość: \(\displaystyle{ 15, 20, 25}\). Oblicz długość odcinka dwusiecznej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka:

a.) największego kąta
b.) najmniejszego kąta

Jakieś pomysły na najmniej bolesny sposób rozwiązania tego zadania? (bez twierdzenia kosinusów i tym podobne)

Z twierdzenia o dwusiecznej i Pitagorasa - to najmniej bolesny ?

[edit] a) Można też z podobieństwa trójkątów.

Można trochę jaśniej? Nie bardzo rozumiem wskazówkę z Pitagorasem oraz nie widzę tutaj trójkątów podobnych.

a) Przez punkt wspólny dwusiecznej z przeciwprostokątną prowadzisz proste równoległe do przyprostokątnych - widzisz (mam nadzieję) kwadrat, którego przekątnej szukasz.
Jeden z boków kwadratu oraz kawałki boków wyjściowego tworzą trójkąt podobny do wyjściowego - z tego można wyznaczyć bok kwadratu, czyli i jego przekątną.
Jak trzeba to rysunek wrzucę. ([edit] Ale już nie dzisiaj bo spadam.)

b) Tak jak pisałem. Niech \(\displaystyle{ x+y=15}\) (x, y odcinki na jakie dwusieczna dzieli przyprostokątną).
Z tw o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \frac{20}{x}=\frac{25}{y}}\).
Potem szukana długość z Pitagorasa.

Dziękuję bardzo za pomoc. Już wszystko jasne, a przy okazji można też w miarę bezboleśnie z sumy pól to wyznaczyć, tj:

\(\displaystyle{ P=P_1+P_2 \\
150=\frac{1}{2}\cdot 20 \cdot x\cdot \sin 45°+\frac{1}{2}\cdot 15 \cdot x\cdot \sin 45°}\)

Lub pojechać po bandzie? - sprowadzić zadanie do podstawienia do wzorów. Zobacz, np: Długość dwusiecznej w trójkącie prostokątnym

Dzięki za linka, jak się okazało jest tam również i moje rozwiązanie. Swoją drogą to widziałem też wzory na długości tych dwusiecznych dla dowolnego trójkąta. To by było dopiero pojechanie po bandzie