Matematyka.pl

Podstawiając współrzędne biegunowe do funkcji \(\displaystyle{ \frac{ x\cdot y^{2} }{ x^{2} + y^{4} }}\) przy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) dążącym do \(\displaystyle{ 0}\) otrzymamy granice równą \(\displaystyle{ 0}\), ale można tu udowodnić że granica nie istnieje ciągami, co zrobiłem. Ale znalazłem też w internecie wiele funkcji gdzie po podstawieniu współrzędnych biegunowych otrzymujemy jakąś granice i na tym kończymy zadania. Jaka jest metoda w której na pewno udowadniamy że granica istnieje i jest równa danej liczbie?? np tu

W przeciwieństwie do obliczania wartości granicy funkcji jednej zmiennej (gdzie do danego punktu dziedziny funkcji dążymy wzdłuż jednej prostej -osi \(\displaystyle{ Ox }\)) - w przypadku badania granic funkcji dwóch zmiennych - do punktu \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})\in D }\) leżącego na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\) można dążyć z różnych kierunków po nieskończenie wielu krzywych.

Nie ma jednej, na pewno dokładnej metody obliczania wartości granicy funkcji dwóch zmiennych w danym punkcie.

Generalnie badając granice funkcji \(\displaystyle{ f(x, y) }\) punkcie - sprawdzamy istnienie i równość jej granic iterowanych, ale nie przesądza to jeszcze ani o wartości ani nawet o istnieniu granicy funkcji.

Sprawdzamy, na przykład, co dzieje się, gdy do danego punktu zbiegamy po dowolnej prostej opisanej równaniem \(\displaystyle{ y = a x }\) przy czym \(\displaystyle{ a \neq 0 }\) i załóżmy, że zgada się, że otrzymujemy taką samą wartość , ale to nadal nie przesądza o istnieniu granicy.

Bo jeśli na przykład będziemy poruszać się po paraboli \(\displaystyle{ y = bx^2, \ \ b\neq 0 }\) i uzyskamy wynik inny od poprzednich, to przesądzi, że granica funkcji nie istnieje.

W badaniu istnienia granicy, dążąc do danego punktu można wykorzystać układ współrzędnych biegunowych \(\displaystyle{ (r, \phi) }\) zwłaszcza gdy we wzorze funkcji występują sumy kwadratów choć nie jest to regułą . Jeśli po podstawieniu do wzoru funkcji za \(\displaystyle{ x = r\cos(\phi), \ \ y = r\sin(\phi) }\) nie otrzymamy wartości lecz granicę zależną od \(\displaystyle{ r, \ \ \phi }\) - badana granica funkcji nie istnieje.