Parametry i pochodna
: 27 gru 2020, o 15:02
Mam problem z zadaniem (przepraszam jeśli nie ten dział).
Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ x^3 +3px -p^2=0 }\) ma trzy rozwiązania?
Mam intuicję, że wykres przebiegu wykresu równania, jeśli potraktujemy je jako funkcję \(\displaystyle{ w(x)}\), to funkcja taka ma \(\displaystyle{ 3}\) miejsca zerowe wtw gdy ma dwa ektrema lokalne różne od miejsc zerowych tejże funkcji. Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty}w(x)= \infty}\) to szkic zaczynamy z prawej strony od góry, następnie przechodzi przez oś \(\displaystyle{ x}\), "odbija się" od minimum lokalnego, następnie przechodzi znowu przez oś \(\displaystyle{ x}\) i zmienia monotoniczność w maksimum lokalnym przechodząc poraz 3. przez oś \(\displaystyle{ x}\). Czyli pochodna \(\displaystyle{ w'(x)=3x^2+3p}\), która jest funkcją kwadratową, musi mieć dwa rozwiązania. Z tego wychodzi, że delta, czyli \(\displaystyle{ -36p>0 \Rightarrow p<0}\). W rozwiązaniach \(\displaystyle{ p}\) jednak należy tylko do\(\displaystyle{ (-4,0)}\), jednak nie wiem jak dojść do tego \(\displaystyle{ -4}\). Z góry dziękuję za pomoc i wskazanie błędów w moim rozumowaniu.
Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ x^3 +3px -p^2=0 }\) ma trzy rozwiązania?
Mam intuicję, że wykres przebiegu wykresu równania, jeśli potraktujemy je jako funkcję \(\displaystyle{ w(x)}\), to funkcja taka ma \(\displaystyle{ 3}\) miejsca zerowe wtw gdy ma dwa ektrema lokalne różne od miejsc zerowych tejże funkcji. Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty}w(x)= \infty}\) to szkic zaczynamy z prawej strony od góry, następnie przechodzi przez oś \(\displaystyle{ x}\), "odbija się" od minimum lokalnego, następnie przechodzi znowu przez oś \(\displaystyle{ x}\) i zmienia monotoniczność w maksimum lokalnym przechodząc poraz 3. przez oś \(\displaystyle{ x}\). Czyli pochodna \(\displaystyle{ w'(x)=3x^2+3p}\), która jest funkcją kwadratową, musi mieć dwa rozwiązania. Z tego wychodzi, że delta, czyli \(\displaystyle{ -36p>0 \Rightarrow p<0}\). W rozwiązaniach \(\displaystyle{ p}\) jednak należy tylko do\(\displaystyle{ (-4,0)}\), jednak nie wiem jak dojść do tego \(\displaystyle{ -4}\). Z góry dziękuję za pomoc i wskazanie błędów w moim rozumowaniu.
