Przykład Hilberta (bazy nieortogonalne podprzestrzeni wielomianowej) i wyliczenie wskaźnika uwarunkowania
: 26 gru 2020, o 21:08
Witam
Nie wiem czy wy ten przykład znacie więc spróbuje go tutaj krótko opisać
Niech \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń \(\displaystyle{ L^2([0,1])}\), podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) to \(\displaystyle{ \pi _{n} }\).
Bazy \(\displaystyle{ V}\) niech będą \(\displaystyle{ e_{i} = x^{i}}\) dla \(\displaystyle{ i}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\).
Iloczyn skalarny wtedy będzie równy \(\displaystyle{ \frac{1}{i+j+1}}\).
Więc macierz Grama nie będzie diagonalna, z racji tego "wyznaczenie numeryczne współczynników elementu optymalnego dla dowolnego \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ X}\) będzie trudne lub nawet niemożliwe", ponieważ wskaźnik uwarunkowania będzie równy mniej więcej \(\displaystyle{ 10^{n}}\).
Mnie właśnie interesuje czemu będzie równy \(\displaystyle{ 10^{n}}\) i czemu to znaczy że będzie "trudno do wyznaczenia" numerycznie patrząc?
Dziękuję!
Nie wiem czy wy ten przykład znacie więc spróbuje go tutaj krótko opisać
Niech \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń \(\displaystyle{ L^2([0,1])}\), podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) to \(\displaystyle{ \pi _{n} }\).
Bazy \(\displaystyle{ V}\) niech będą \(\displaystyle{ e_{i} = x^{i}}\) dla \(\displaystyle{ i}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\).
Iloczyn skalarny wtedy będzie równy \(\displaystyle{ \frac{1}{i+j+1}}\).
Więc macierz Grama nie będzie diagonalna, z racji tego "wyznaczenie numeryczne współczynników elementu optymalnego dla dowolnego \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ X}\) będzie trudne lub nawet niemożliwe", ponieważ wskaźnik uwarunkowania będzie równy mniej więcej \(\displaystyle{ 10^{n}}\).
Mnie właśnie interesuje czemu będzie równy \(\displaystyle{ 10^{n}}\) i czemu to znaczy że będzie "trudno do wyznaczenia" numerycznie patrząc?
Dziękuję!