janusz47 pisze: ↑26 gru 2020, o 17:05
Chciałbym się dowiedzieć jak Pan liczysz tą granicę po wrightowsku w sensie Schura.
Ten sposób zwracania się do mnie jest bardzo kolokwialny i nie przystoi w oficjalnej rozmowie. Jak Pan
liczy, nie
liczysz. Nadto w oficjalnej wypowiedzi używamy formy
tę granicę. Zwrot
tą granicę dopuszczalny jest w rozmowie, nie w tekście pisanym.
Dyskusję rozpocząłem następującym stwierdzeniem.
szw1710 pisze: ↑25 gru 2020, o 19:22
Wynik jest bardzo ciekawy. Eksperymenty numeryczne wskazują na \(1.2\), tak samo liczy Wolfram Alpha. Więc musi być jakiś ładny trick. Na początek dość łatwo zauważyć, że \(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}\ge 0\). Jeśli wie się, co to funkcja wypukła (a tutaj wklęsła) w sensie Wrighta, to wniosek jest natychmiastowy i wynika z tzw. nierówności Lima.
![:)](./images/smilies/icon_smile.gif)
No ale dalej trzeba pokombinować.
Jak zauważył
a4karo, powinniśmy wiedzieć, że \(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}>0\) dla dostatecznie dużych \(n\). Pokażę to według nierówności \(f(a)+f(b)>f(c)+f(d)\), o ile \(f\) jest funkcją ściśle wklęsłą oraz \(c<a<b<d\) i \(a+b=c+d.\) Na mocy przyjętych założeń punkty \(a,b\) oraz \(c,d\) mają wspólną średnią arytmetyczną, więc \(a=tc+(1-t)d\) oraz \(b=(1-t)c+td\) dla pewnego \(t\in(0,1).\) Z definicji funkcji ściśle wklęsłej dochodzimy do dwóch nierówności.
\[
\begin{aligned}
f(a)&=f\bigl(tc+(1-t)d\bigr)>tf(c)+(1-t)f(d),\\[1ex]
f(b)&=f\bigl((1-t)c+td\bigr)>(1-t)f(c)+tf(d).
\end{aligned}
\]
Dodając je stronami otrzymujemy \(f(a)+f(b)>f(c)+f(d).\) Ta właśnie nierówność jest związana z wklęsłością w sensie Wrighta. Wydaje mi się dość użyteczna, a przez lata praktyki zawodowej udało mi się z nią trochę oswoić do tego stopnia, że nawet napisałem pracę naukową związaną z tą klasą funkcji.
W każdym razie dla każdego \(n\in\NN\) funkcja \(f_n(x)=\sqrt[n]{x}\) jest ściśle wklęsła w przedziale \([0,\infty)\), więc biorąc \(c=0,a=2,b=3,d=5\) otrzymujemy, że \(a+b=5=c+d\), więc
\[
\begin{aligned}
f_n(a)+f_n(b)&>f_n(c)+f_n(d),\\
f_n(2)+f_n(3)&>f_n(0)+f_n(5),\\
\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}&>\sqrt[n]{0}+\sqrt[n]{5},\\
\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}&>0.
\end{aligned}
\]To jest coś, co określiłem mianem po
Wrightowsku, czyli w sensie Schura. Może warto spopularyzować to pojęcie.
Podsumowując, od tej dodatniości zaczęła się dyskusja. Dalsze pomysły miał
a4karo. Ja też chciałem to jakoś powiązać z liczbą \(e\), ale wziąłem do obliczeń tylko dwa składniki sumy występującej w granicy, a trzeba było wziąć wszystkie trzy. A ponieważ zadanie wydało mi się ciekawe, a sam byłem wczoraj wieczorem mocno zmęczony, pokazałem je koledze
a4karo, który szybko je rozpracował.