Matematyka.pl

Cześć! Mam do obliczenia granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 } \frac{x^ \alpha -1}{x-1}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in \mathbb{R}}\). Gdyby \(\displaystyle{ \alpha }\) było naturalne, nie miałabym problemu, jednak przy każdym rzeczywistym nie wiem co robić.

\(\displaystyle{ (1)}\) Z spróbuj oszacować iloraz różnicowy.

\(\displaystyle{ (2)}\) Można też zauważyć, że z definicji pochodnej mamy: \(\displaystyle{ \left( x^{ \alpha }\right)'_{x=1}= \lim_{x \to 1} \frac{x^{ \alpha }-1}{x-1} }\)

Oznaczmy tę granicę przez `h(a)`. Wtedy i umówmy się, żę `\lim` oznacza granicę w jedynce
\(\displaystyle{ h(a+b)=\lim\frac{x^{a+b}-1}{x-1}=\lim\frac{x^{a+b}-x^a+x^a-1}{x-1}=\lim x^a\frac{x^b-1}{x+1}+\lim\frac{x^a-1}{x-1}=h(a)+h(b)}\)

I teraz wystarczy tylko zauważyć, że `h(1)=1` i coś o ograniczoności albo ciągłości tej funkcji, żeby wywnioskować, że `h(a)=a`