Matematyka.pl

Witam,

Oblicz transformatę oraz widmo amplitudowe następującego sygnału:

\(\displaystyle{ f(t)=1(t) \times e^{- w_{0}t} }\)

Policzyłem całkę i wynik otrzymany:

\(\displaystyle{ F(jw) = \frac{1}{w_{0}+jw}}\)
Po przekształceniu:
\(\displaystyle{ F(jw) = \frac{w_{0} - jw}{w_{0}^{2} + w^{2} } = \frac{w_{0}}{w_{0}^{2} + w^{2} } + j \frac{-w}{w_{0}^{2} + w^{2} } }\)

Posiadam wzór na moduł z widma amplitudowego:

\(\displaystyle{ |F(jw)| = \sqrt{ a^{2}(jw) + b^{2}(jw) } }\)
gdzie:
a - cz. rzeczywista
b - cz. urojona

W jaki sposób doprowadzić do tej postaci nie za bardzo to rozumiem, wstawić po prostu do tego wzoru z pierwiastkiem część rzeczywistą oraz kolejno urojoną w funkcji? Nie do końca rozumiem tego zapisu wzoru |F(jw)|.

Policzyłem transformatę, teraz powinienem narysować wykres, nie za bardzo wiem jak mam się za to zabrać jeśli za \(\displaystyle{ w_{0} }\) wstawie np. 10.

pozdrawiam i dziękuję z góry za sugestie.

Nie moduł z widma amplitudowego, tylko moduł widma amplitudowego, albo amplituda widma.

Obliczamy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej \(\displaystyle{ F(j(\omega) }\) i podstawiamy pod pierwiastkiem w miejsce \(\displaystyle{ \omega \rightarrow j\omega. }\)

Ok, udało się policzyłem moduł widma amplitudowego, pozbyłem się dzięki temu części urojonej. Pozostaje teraz kwestia \(\displaystyle{ w=2 \pi \cdot f}\).
Niestety, ale nie znam mojej częstotliwości w jaki sposób mógłbym wyznaczyć częstotliwość?
Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \omega_{0} = 2\pi \cdot f, }\)

\(\displaystyle{ f = \frac{\omega_{0}}{2\pi}.}\)