Matematyka.pl

Dzień dobry
Jedna rzecz mnie zastanawia od dawna. Wszyscy wiemy, jak się dodaje, odejmuje, potęguje. No ale skąd wiadomo, na czym polega pierwiastkowanie? Skąd wiadomo, jaki jest wynik pierwiastkowania? Jak policzono, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,41}\)? Sprawdzono wszystkie liczby większe od jedynki, mniejsze od dwójki, aż uzyskano poprawny wynik? Wydaje mi się to mało efektywne. Jednakże każdy kalkulator umie pierwiastkować, jakoby było to oczywiste. Według mnie jest to co najmniej dziwne.

Liczba \(\sqrt{2}\) jest granicą ciągu przybliżeń wymiernych. Można zrobić tak: bierzemy
\[
\begin{aligned}
1&<\sqrt{2}<2\\
1.4&<\sqrt{2}<1.5\\
1.41&<\sqrt{2}<1.42\\
1.414&<\sqrt{2}<1.415\\
&\vdots
\end{aligned}
\]
Liczba \(\sqrt{2}\) jest wspólną granicą ciągów ograniczeń dolnych oraz górnych.

No dobrze, dziękuję za odpowiedź, ale to nadal jest sprawdzanie liczb po kolei. Naprawdę pierwiastkowanie na tym polega? Ja w to nie wierzę. Na pewno musi być jakiś sposób, żeby to od tak wyliczyć.

Sprawdź tutaj:



Dodano po 1 minucie 19 sekundach:
Jest również dość prosty sposób pisemnego obliczania pierwiastka drugiego stopnia.

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36No ale skąd wiadomo, na czym polega pierwiastkowanie?

Pierwiastkowanie polega na przypisaniu każdej liczbie nieujemnej \(\displaystyle{ y \ge 0}\) jedynego nieujemnego rozwiązania \(\displaystyle{ x}\) równania \(\displaystyle{ x^2 = y}\). A skąd to wiadomo? Bo od momentu, gdy ludzkość zdefiniowała w ten sposób pierwiastkowanie, ta wiedza jest przekazywana kolejnym pokoleniom matematyków na wykładach i w podręcznikach.

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36Skąd wiadomo, jaki jest wynik pierwiastkowania?

Co to znaczy "jaki"? Cechą w pełni charakteryzującą na przykład \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest to, że to liczba rzeczywista nieujemna, której kwadrat wynosi dwa. Jeśli chcesz zapytać skąd wiadomo, że ta liczba ma jakąś inną cechę, to musisz podać jaka to cecha.

Niepokonana pisze: 12 gru 2020, o 19:36Jak policzono, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1,41}\)? Sprawdzono wszystkie liczby większe od jedynki, mniejsze od dwójki, aż uzyskano poprawny wynik?

Wiadomo że podnoszenie do kwadratu liczb nieujemnych jest funkcją rosnącą. Zatem jeśli policzymy że \(\displaystyle{ 1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2}\), to stąd natychmiast wynika, że \(\displaystyle{ 1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42}\), co wystarcza do stwierdzenia że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1{,}41}\).

Jeśli natomiast chodzi o wyznaczenie rozwinięcia dziesiętnego metodą lepszą niż na chybił-trafił, to jedną z bardziej efektywnych jest . Konkretnie: dla ustalonej liczby \(\displaystyle{ p > 0}\) definiujemy rekurencyjnie ciąg

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 1 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{p}{a_n} \right) \end{cases}}\)

Można wykazać, że ten ciąg jest bardzo szybko zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) - obliczenie każdego kolejnego wyrazu mniej-więcej podwaja liczbę prawidłowych cyfr po przecinku.

Dasio11 pisze: 12 gru 2020, o 20:27 Jeśli natomiast chodzi o wyznaczenie rozwinięcia dziesiętnego metodą lepszą niż na chybił-trafił, to jedną z bardziej efektywnych jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Newtona

. Konkretnie: dla ustalonej liczby \(\displaystyle{ p > 0}\) definiujemy rekurencyjnie ciąg

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 1 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{p}{a_n} \right) \end{cases}}\)

Można wykazać, że ten ciąg jest bardzo szybko zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) - obliczenie każdego kolejnego wyrazu mniej-więcej podwaja liczbę prawidłowych cyfr po przecinku.

Funkcja \(f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{p}{x}\right)\) jest zwężająca ze stałą \(\frac{1}{2}.\) Z twierdzenia Banacha wynika, że\[|a_n-\sqrt{p}|\le\frac{1}{2^{n-1}}|a_1-a_0|=\frac{1-p}{2^n},\]więc istotnie ciąg \((a_n)\) jest bardzo szybko zbieżny i rację masz mówiąc o podwajaniu precyzji za każdym krokiem.

szw1710 pisze: 12 gru 2020, o 21:41Z twierdzenia Banacha wynika, że\[|a_n-\sqrt{p}|\le\frac{1}{2^{n-1}}|a_1-a_0|=\frac{1-p}{2^n},\]więc istotnie ciąg \((a_n)\) jest bardzo szybko zbieżny i rację masz mówiąc o podwajaniu precyzji za każdym krokiem.

Takie szacowanie nie wystarczy żeby uzasadnić to co napisałem - gdyby odległość \(\displaystyle{ |a_n-\sqrt{p}|}\) faktycznie była rzędu \(\displaystyle{ \frac{C}{2^n}}\), to co 3-4 kroki dostawalibyśmy jedną nową prawidłową cyfrę wyniku. Tymczasem zbieżność jest o wiele szybsza: liczba prawidłowych cyfr z każdą iteracją z grubsza się podwaja, co wynika z tożsamości

\(\displaystyle{ a_{n+1} - \sqrt{p} = \frac{1}{2 a_n} \left( a_n - \sqrt{p} \right)^2}\).

Dziękuję za odpowiedzi, chociaż nie bardzo wierzę w ten algorytm, ale ok.
Panie Dasiu, chodzi o zapis liczby cyframi, żeby było wiadomo, gdzie mniej więcej jest na osi.

Eee, … zero zabawy.
Wybieram ułamki, np.:
\(\displaystyle{ \frac{30 \ 122 \ 754 \ 096 \ 401}{21 \ 300 \ 003 \ 689 \ 580}}\)
- jest całkiem dobrym przybliżeniem \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).

Cóż, każdy lubi się bawić trochę inaczej, ale skąd brać takie ułamki?

Temat troszkę zbyt obszerny by zawrzeć go w dwóch, trzech zdaniach. Tak w telegraficznym skrócie, przybliżamy wartość pierwiastka przy pomocy ułamków.

A jak byś miała 7 palców, to pierwiastek z dwóch byłby czymś zupełnie innym

W podobnym duchu do tego co pokazał Dasio11. Istnieją sposoby bazujące na równość:


i jej iteracjach. Niebieski pierwiastek zamieniasz czerwonym:





teraz można to uciąć na pewnej iteracji co daje niezłe przybliżenie przykładowo:

A ok dziękuję, czyli to tak jakby jest to wzór z granicami tak jakby?
Teraz już rozumiem, o co chodzi z pierwiastkami.

Niepokonana pisze: 14 gru 2020, o 13:14 czyli to tak jakby jest to wzór z granicami tak jakby?

To stwierdzenie jest mocno nieprecyzyjne póki co. Bo formalnie jeszcze żadnej granicy nigdzie tu nie mamy. Wspólnym mianownikiem wypowiedzi szw1710, kinia7, Dasioa11 i mojej jest to, że pierwiastki liczy się jakimś algorytmem którego każdy następny krok pozwala na coraz lepsze odkrywanie dokładnej wartości \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\). To jak taki algorytm wygląda to już inna sprawa, a to jaki algorytm stosuje kalkulator to jeszcze inna kwestia implementacji algorytmu. Najprostsze algorytmy polegają po prostu na metodzie chybił trafił ale można je tak sformalizować (metodą dzielenia przedziału) by były skuteczne i deterministyczne były zbieżne do wartości \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\). Są też metody pisemne w słupku oraz . To do poczytania jako ciekawostki. Twoje pytanie jest w ogóle dość skomplikowanym zagadnieniem w ogólność bo na początku piszesz:

Niepokonana pisze:Jedna rzecz mnie zastanawia od dawna. Wszyscy wiemy, jak się dodaje, odejmuje, potęguje.

Ale jakby się tak nad tym głębiej zastanowić to wcale nie jest to takie oczywiste. Skąd kalkulator wie ile to jest \(\displaystyle{ \pi ^{ \sqrt{2} }}\) albo nawet \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} }\)? To nie jest wcale taki oczywiste. nawet samo mnożenie liczb niewymiernych nie jest banalne. Nie ma jakiejś (przynajmniej ja nie znam) interpretacji, że coś robimy \(\displaystyle{ n}\) razy tak jak w \(\displaystyle{ 2^4=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\) w liczbach niewymiernych. A skąd kalkulator wie ile to jest \(\displaystyle{ \sin 57^{\circ}}\) albo \(\displaystyle{ \lg_59}\)? Sprowadzić się to musi zawsze do dodawania bo tylko to komputer umie robić. A ogólne algorytmy mogą być bardzo dziwaczne. Przykładowo:


Gdy \(\displaystyle{ z=x^{n}+y}\)

to są przykładowe wzory które pozwalają przybliżyć niektóre funkcje jedynie za pomocą prostych działań które są algorytmiczne. Ogólnie to się nazywa ułamki łańcuchowe i chyba w kalkulatorach się tego nie stosuje (ale tego dokładnie nie wiem). Kalkulatory chyba mają wbudowane coś w rodzaju wzoru Taylora który też pozwala zwykle dość szybko określać wartość funkcji za pomocą prostych działań. Przykładowo przybliżoną wartość \(\displaystyle{ \sqrt{10} }\) można wyznaczyć przybliżając go \(\displaystyle{ \sqrt{9} }\) jako:



błąd takiego przybliżenia widać dopiero na piątym miejscu po przecinku. A są też metody które pozwalają na określenie na którym miejscu po przecinku pojawi się błąd, zatem mądry programista kalkulatora, który wyświetla nie więcej niż (powiedzmy) \(\displaystyle{ 10}\) cyfr, wie jak napisać kod tak by wszystkie te cyfry były prawdzie. A poza tym istnieją też ciekawe metody aproksymacji Padé w postaci funkcji wymiernej:



dające zaskakująco dobre przybliżenia (oczywiście lokalnie). Więc jak widać sprawa nie jest taka banalna. Ale większość tych metod można zalgorytmizować i napisać jako kod komputera. Co więcej większość tych metod jest od dawna znanych więc są dobrze zbadane i zwykle znany jest błąd jaki się popełnia. Więc można śledząc błąd pisać taki kod aby to co wyświetlamy na ekranie było pewne.

PS oczywiście nie wypisałem tego z głowy wszystkie te rzeczy można znaleźć w Internecie. Gównie odnośnikami z Wikipedii.