Matematyka.pl

Witam, mam problemy z rozwiązaniem tych dwóch zadań:

1. Dane są cztery punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\), i \(\displaystyle{ D}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|DA|^{2} \ge |AC|^{2}
+|BD|^{2}}\).

2. Udowodnij, że spośród dowolnych pięciu wektorów można zawsze wybrać takie dwa, aby długość ich sumy była nie większa niż długość sumy pozostałych trzech wektorów.

Będę wdzięczny za wszelką pomoc

1.
Zapisujemy punkty we współrzędnych prostokątnych:

\(\displaystyle{ A(x_{1}.y_{1}, z_{1}),\ \ B(x_{2},y_{2}, z_{2}), \ \ C(x_{3},y_{3},z_{3}), \ \ D(x_{4},y_{4}, z_{4}), }\)

Aby zachodziła nierówność \(\displaystyle{ |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|DA|^{2} \ge |AC|^{2} +|BD|^{2}}\)

musi zachodzić nierówność:

\(\displaystyle{ (x_{1} -x_{2})^2 + (x_{2} -x_{3})^2 + ( x_{3}-x_{4})^2 +(x_{4}-x_{1})^2 \geq (x_{1}-x_{3})^2 + (x_{2}-x_{4})^2 }\)

Podobnie dla współrzędnych \(\displaystyle{ y, \ \ z }\)

Ostatnia nierówność jest równoważna nierówności:

\(\displaystyle{ 0 \leq x^2_{1} +x^2_{2} + x^3_{3} + x^4_{4} - 2x_{1}x_{2} -2x_{2}x_{3} -2x_{3}x_{4}-2x_{4}x_{1} +2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{4} = (x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4})^2 }\)

Tak samo zapisujemy nierówności dla współrzędnych \(\displaystyle{ y, z.}\)

Kiedy zachodzi równość ?

Równość zachodzi, gdy

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{3} = x_{2} + x_{4}, \ \ y_{1} + y_{3} = y_{2} +y_{4}, \ \ z_{1}+ z_{3} = z_{2} + z_{4} }\) wtedy i tylko wtedy, gdy

czworokąt \(\displaystyle{ ABCD }\) jest równoległobokiem.