Matematyka.pl

Hej mam dwa wektory: \(\displaystyle{ v_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\end{pmatrix}\\ v_2=\begin{pmatrix}0&0&7&1&a\end{pmatrix}}\)
I mam znaleźć do nich wektor prostopadły niezależny od wyboru \(\displaystyle{ a}\).
Policzyłam iloraz wektorów przyrównany do \(\displaystyle{ 0}\) czyli: \(\displaystyle{ 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 7+ 1\cdot 1 + 1\cdot a = 0}\).
I wyszło \(\displaystyle{ \rightarrow a+8 =0 \rightarrow a=-8}\), ale z treści wynika że \(\displaystyle{ a}\) miało być dowolne więc nie wiem jak to rozwiązać, proszę o pomoc i wytłumaczenie jak to zrobić poprawnie.

Proszę poprawić zapis zadania w LateX. Samouczek jest na forum.

Proszę obliczyć nie iloczyn skalarny, który jest skalarem tylko iloczyn wektorowy, który jest wektorem prostopadłym do tych wektorów.

Może wystarczą dwa iloczyny skalarne z np: \(\displaystyle{ (1,-1,0,0,0)}\) ?

@janusz47
Jak się liczy sugerowany iloczyn wektorowy?

janusz47 pisze: 10 gru 2020, o 20:11 Proszę poprawić zapis zadania w LateX. Samouczek jest na forum.

Proszę obliczyć nie iloczyn skalarny, który jest skalarem tylko iloczyn wektorowy, który jest wektorem prostopadłym do tych wektorów.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów w `\RR^5`???

Jest twierdzenie, które pozwala znajdować współrzędne iloczynu wektorowego danych wektorów:

Niech \(\displaystyle{ a_{i} = (\alpha^1_{i}, ..., \alpha^{n}_{i}), \ \ i = 1,...,n-1 }\) i niech \(\displaystyle{ A_{j} }\) będzie macierzą powstałą z

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} a_{1}\\ .\\. \\ . \\ a_{n-1}\end{matrix}\right) }\) przez skreślenie \(\displaystyle{ j-tej }\) kolumny.

Wówczas

\(\displaystyle{ \times( a_{1},...,a_{n-1}) = \left[(-1)^{1+n}\det (A_{1}),..., (-1)^{n+n} \det(A_{n}) \right]. }\)

Czyli przez rozwinięcie Laplace'a.

Rozwinięcie według skreślania kolejnych kolumn macierzy- to nie jest rozwinięcie Laplace'a.

A to A1..An to jest z tej kolumny która została po skreśleniu czy skąd?

To jest macierz, która powstała przez skreślenie pierwszej kolumny.

janusz47 pisze: 10 gru 2020, o 20:44 \(\displaystyle{ \times( a_{1},...,a_{n-1}) = \left[(-1)^{1+n}\det (A_{1}),..., (-1)^{n+n} \det(A_{n}) \right]. }\)

O ile się nie mylę, to w tym działaniu potrzebne są cztery wektory, a dane są jedynie dwa. Pozostałe dwa mogą być dowolne, czy jakoś ograniczone. I skąd wiadomo że uzyskany wektor nie będzie zależał od parametru \(\displaystyle{ a}\) ?

I skąd wiadomo, że będzie on prostopadły (w rzadko którym kursie mówi się o takim obiekcie)

Powyższe twierdzenie znajduje się w podręczniku:

Maria Moszyńska, Joanna Święcicka. Geometria z Algebrą Liniową BM tom 65 strona 191-193. PWN Warszawa 1987.

Patrz też:

Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW tom 2 strona 141 Wydawnictwo UMK Toruń 2000.

Że wektor \(\displaystyle{ \times( a_{1},..., a_{n-1}) }\) jest wektorem prostopadłym do pozostałych wektorów wynika z dowodu twierdzenia.

Z twierdzenia tego wynika też, że Ilość wektorów musi być równa \(\displaystyle{ i = n-1. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ i < n-1 }\) uzupełniamy dane wektory o wektory jednostkowe

\(\displaystyle{ \vec{e_{3}} = (0,0, 1,0,0), }\)

\(\displaystyle{ \vec{e_{4}} = (0,0,0,1,0). }\)

No i co z tego, że jest opisane gdzieś tam. Pytanie, czy to narzędzie jest dostępne autorowi wątku.
A poza tym nie wiesz, czy ten iloczyn wektorowy będzie niezależny od `a` - a o to przecież chodziło w zadaniu.

Dodano po 2 minutach 28 sekundach:
Pomijam już fakt, że kerajs zaproponował elementarną i bardzo prostą metodę rozwiązania

Czy to jest metoda elementarna i dobra - niezależna od \(\displaystyle{ a }\) tego nie mogę powiedzieć, jak i nie mogę powiedzieć czy uogólniony iloczyn wektorowy zależy czy nie zależy od \(\displaystyle{ a. }\) Należałoby sprawdzić w tym konkretnym przypadku.