granice ciągów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
grzegorz87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 29 gru 2006, o 15:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Gory
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 53 razy

granice ciągów

Post autor: grzegorz87 » 16 paź 2007, o 20:24

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } sin(\pi \sqrt{n^{2}+n})}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n^{100}}{n!}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{2^{n}}{n^{100}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granice ciągów

Post autor: Piotr Rutkowski » 16 paź 2007, o 21:20

W trzecim możesz sobie zrobić stukrotną hospitalizację

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

granice ciągów

Post autor: mostostalek » 16 paź 2007, o 21:29

co do wyników:
w pierwszym wyrażenie pod sinusem wyraźnie dąży do nieskończoności a tam granica sinusa nie istnieje.. zatem granica nie istnieje

od pewnego miejsca silnia rośnie szybciej od potęgi.. zatem granica wyjdzie 0

w trzecim \(\displaystyle{ \infty}\) tak na oko wszystko

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granice ciągów

Post autor: andkom » 16 paź 2007, o 21:30

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^{100}}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac1{(n-100)!}\frac n{n-99}\frac n{n-98}\frac n{n-97}\cdots\frac n{n}=\\=0\cdot1\cdot1\cdot1\cdot\cdots\cdot1=0}\)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

granice ciągów

Post autor: Sir George » 17 paź 2007, o 11:04

mostostalek pisze:co do wyników:
w pierwszym wyrażenie pod sinusem wyraźnie dąży do nieskończoności a tam granica sinusa nie istnieje.. zatem granica nie istnieje
A to Cię zaskoczę, bo granica istnieje i jest równa 1.

A liczy się to całkiem łatwo:
\(\displaystyle{ \sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)\,=\,\sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi\right)\,= \,\sin\left(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\, \longrightarrow\, \sin\frac{\pi}{2}}\)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granice ciągów

Post autor: andkom » 17 paź 2007, o 11:24

Sir George pisze:A to Cię zaskoczę, bo granica istnieje i jest równa 1.

A liczy się to całkiem łatwo:
\(\displaystyle{ \sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)\,=\,\sin\left(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi\right)\,= \,\sin\left(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\, \longrightarrow\, \sin\frac{\pi}{2}}\)
A jednak nie. Błąd jest w pierwszej równości. Okres sinusa to \(\displaystyle{ 2\pi}\), a nie \(\displaystyle{ \pi}\). Granica po indeksach parzystych wynosi 1, a po nieparzaystych wynosi -1. "Cały" ciąg granicy nie ma.

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

granice ciągów

Post autor: Sir George » 17 paź 2007, o 13:33

andkom pisze:A jednak nie. Błąd jest w pierwszej równości.
Aaaa.... racja, święta racja,... to już tak jest, jak się chce coś za szybko robić... Oczywiście sinus jest funkcją o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\). Chyba zasugerowałem się tym, że \(\displaystyle{ \sin(n\pi)=0}\)... Cóż, bijąc się w piersi pozdrawiam....

ODPOWIEDZ