Matematyka.pl

Proszę o sprawdzenie, czy jest dobrze przeprowadzony ten dowód, czy coś trzeba dopisać.
Wykaż, że
\(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B = A \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow }\)
Z innego zadania wiem, że
\(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup (B \setminus B) \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup \emptyset \Leftrightarrow
(A \setminus B)}\)
czyli \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) }\) gdy \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B}\)
zbiór \(\displaystyle{ (A \setminus B)}\) jest równy zbiorowi \(\displaystyle{ A}\), gdy różnica nie wytnie żadnych \(\displaystyle{ x}\), czyli gdzy wszystkie \(\displaystyle{ x \in A}\) jednocześnie nie należą do \(\displaystyle{ B}\). To oznacza, że takie \(\displaystyle{ x}\) spełniają: \(\displaystyle{ x \in A \wedge x \notin B}\), czyli żaden \(\displaystyle{ x}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cap B}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow }\)
wiem, że żaden \(\displaystyle{ x}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cap B}\) co jest spełnione gdy \(\displaystyle{ x}\), które należą do \(\displaystyle{ A}\) nie należą do \(\displaystyle{ B}\), czyli prawdziwe jest, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) = A}\), skąd łatwo dojść do \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B = A}\).

No i to strasznie masło maślane jest i nie jestem pewna, czy nie pomijam gdzieś jakiegoś etapu, że coś z siebie nie wynika.

Lothmel pisze: 7 gru 2020, o 21:36 Z innego zadania wiem, że
\(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup (B \setminus B) \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup \emptyset \Leftrightarrow
(A \setminus B)}\)

Źle, zbiory nie mogą być równoważne, mogą tylko być równe.

Lothmel pisze: 7 gru 2020, o 21:36czyli \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) }\) gdy \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \notin B}\)

A co to jest \(\displaystyle{ x}\)?

Lothmel pisze: 7 gru 2020, o 21:36zbiór \(\displaystyle{ (A \setminus B)}\) jest równy zbiorowi \(\displaystyle{ A}\), gdy różnica nie wytnie żadnych \(\displaystyle{ x}\), czyli gdzy wszystkie \(\displaystyle{ x \in A}\) jednocześnie nie należą do \(\displaystyle{ B}\). To oznacza, że takie \(\displaystyle{ x}\) spełniają: \(\displaystyle{ x \in A \wedge x \notin B}\), czyli żaden \(\displaystyle{ x}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cap B}\)

To właściwa obserwacja, ale to nie jest formalny dowód, tylko opowiadanie.

Lothmel pisze: 7 gru 2020, o 21:36\(\displaystyle{ \Leftarrow }\)
wiem, że żaden \(\displaystyle{ x}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cap B}\) co jest spełnione gdy \(\displaystyle{ x}\), które należą do \(\displaystyle{ A}\) nie należą do \(\displaystyle{ B}\), czyli prawdziwe jest, że \(\displaystyle{ (A \setminus B) = A}\), skąd łatwo dojść do \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B = A}\).

Jak wyżej - to jest słuszna obserwacja, ale to nie jest formalny dowód.

Dla przykładu formalny dowód wynikania \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) wygląda np. tak:

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A\cap B\ne\emptyset}\). Oznacza to, że istnieje \(\displaystyle{ x\in A\cap B}\), czyli \(\displaystyle{ x\in A}\) i \(\displaystyle{ \red{x\in B}}\). Skoro \(\displaystyle{ x\in A}\), to z założenia \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B = A}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in (A \cup B) \setminus B}\), czyli w szczególności \(\displaystyle{ \red{x\notin B}}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

JK

Lothmel pisze: 7 gru 2020, o 21:36 Z innego zadania wiem, że
\(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus B \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup (B \setminus B) \Leftrightarrow (A \setminus B) \cup \emptyset \Leftrightarrow
(A \setminus B)}\)

Dobrze zaczęłaś (poza tym, że zamiast równoważności powinna być równość oczywiście).

Pozostaje pokazać, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) mamy \(\displaystyle{ A \setminus B= A,}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne. To jednak jest zupełnie oczywiste, (dam wskazówkę: wykorzystaj, że \(\displaystyle{ A \setminus B=A \setminus \left( A \cap B\right) }\)).

Jakub Gurak pisze: 8 gru 2020, o 13:29(dam wskazówkę: wykorzystaj, że \(\displaystyle{ A \setminus B=A \setminus \left( A \cap B\right) }\)).

A skąd wiesz, że ta własność została wcześniej udowodniona?

JK