Strona 1 z 1

Punkty wspólne z parametrem

: 6 gru 2020, o 17:44
autor: tomek1413
Witam mam problem z zadaniem z mature próbnej z operonu listopad 2020

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) fubnkcje \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4-m}{x} }\) oraz \(\displaystyle{ g(x)= x^{2}+5x+m }\) maja dokladnie trzy punkty wspólne

dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
Wyobrażałem sobie to na wykresach i szukałem jakichś zależności, ale nie mam pomysłu. Sprawdzałem też ze Wzorów Viete`a, ale nic konkretnego nie wyszło.

Re: Punkty wspólne z parametrem

: 6 gru 2020, o 17:55
autor: Jan Kraszewski
Zastanów się, kiedy równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\), które sprowadza się do równania trzeciego stopnia zależnego od parametru \(\displaystyle{ m}\), ma trzy rozwiązania niezerowe.

JK

Re: Punkty wspólne z parametrem

: 6 gru 2020, o 18:10
autor: tomek1413
Iloczyn wszystkich pierwiastków równania jest równy \(\displaystyle{ \frac{-d}{a} }\) dla \(\displaystyle{ ax^{3} +bx ^{2}+cx+d }\)
Czyli \(\displaystyle{ \frac{-d}{a} }\) ma być różne od zera? I jeżeli tak, to co jeżeli z tego wielomianu wyjdzie np \(\displaystyle{ (x-2)(x-2)(x-3)}\) to mimo, że ma trzy rozwiązania, to dalej liczy się jako przecięcie w 3 miejscach?

Re: Punkty wspólne z parametrem

: 6 gru 2020, o 18:23
autor: JHN
Za punkty wspólne wykresów odpowiedzialne jest równanie
\(\displaystyle{ \frac{4-m}{x}= x^{2}+5x+m\iff x^3+5x^2+mx+m-4=0\wedge x\ne0}\)
Można zauważyć, że dla każdego rzeczywistego \(\displaystyle{ m}\) jego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ -1}\). Pozostaje poszukać dwóch pozostałych, będą one rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ x^2+4x+m-4=0}\),
o ile będą istnieć i będą rożne od \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 0}\)

Pozdrawiam

[edited] poprawka

Re: Punkty wspólne z parametrem

: 6 gru 2020, o 18:24
autor: Jan Kraszewski
tomek1413 pisze: 6 gru 2020, o 18:10co jeżeli z tego wielomianu wyjdzie np \(\displaystyle{ (x-2)(x-2)(x-3)}\) to mimo, że ma trzy rozwiązania, to dalej liczy się jako przecięcie w 3 miejscach?
Nie ma trzech rozwiązań, tylko dwa: \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ x=3}\), więc są tylko dwa punkty przecięcia.

JK

Re: Punkty wspólne z parametrem

: 6 gru 2020, o 18:29
autor: tomek1413
Dziękuję za pomoc.