Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2+2}\right)^{n+1}}\)
po przekształceniu sprowadzam to do postaci:
\(\displaystyle{ \lim \:_{n\to \:\infty \:}\left(\left(1+\frac{1}{2n^2+2}\right)^{2n^2+2}\right)^{\frac{n+1}{2n^2+2}}}\)
wewnętrzna część dąży do \(\displaystyle{ e}\) a wykładnik \(\displaystyle{ ^{\frac{n+1}{2n^2+2}}}\) do \(\displaystyle{ 0}\), więc całość powinna dążyć do \(\displaystyle{ 1}\). Czemu zatem jak sprawdzę wynik w wolframie to dostaję \(\displaystyle{ e}\) a nie \(\displaystyle{ 1}\)? Gdzie popełniam błąd?

Źle przekształciłeś. Sprowadź sobie \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2n^2+2}}\) do wspólnego mianownika i zobacz, że nie wychodzi to, co było na początku.

Faktycznie! Teraz wszystko wychodzi elegancko, dzięki.

Wolfram dobrze pokazuje.

Opuszczamy znak limesa

\(\displaystyle{ \left( \frac{2n^2 +2n +1}{2n^2 +2}\right) ^{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{\frac{2(n^2 +1)}{2n-1}} \right)^{n} \cdot \left(1 +\frac{1}{\frac{2(n^2 +1)}{2n-1}} \right)^{1} = \left(1+\frac{1}{\frac{ 2(n^2 +1)}{2n - 1}} \right)^{\frac{2(n^2+1)}{2n-1}\cdot \frac{n\cdot 2(n-1)}{2(n^2+1)}} \cdot 1 \rightarrow e^{1} \cdot 1= e \ \ \ \ \text{gdy} \ \ \ \ n\rightarrow \infty .}\)