Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ R=I_1\oplus I_2 \oplus ... \oplus I_n}\) i \(\displaystyle{ R=J_1\oplus J_2 \oplus ... \oplus J_m}\) będą rozkładami \(\displaystyle{ R}\) na sumę prostą nierozkładalnych ideałów. (tzn. niezerowych ideałów, których nie można rozłożyć na sumę prostą ideałów \(\displaystyle{ R}\)). Uzasadnić, że \(\displaystyle{ n=m}\) i istnieje permutacja \(\displaystyle{ \sigma \in S_n}\) taka, że \(\displaystyle{ J_i=I_{\sigma(i)}}\), dla wszystkich \(\displaystyle{ 1 \le i \le n}\).

Jak to zrobić?

Wynika to raczej stąd, że:

Każda dziedzina ideałów głównych jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.

Ok, ale moment, jak tutaj należy rozumieć sumę prostą? Czy tak jak w przestrzeniach liniowych, że np. \(\displaystyle{ \RR^3}\), to jest suma prosta przestrzeni generowanych przez \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) ?

Możesz mi odpowiedzieć?

Rozkład na sumę prostą w grupie addytywnej jest tu jasne analogia z przestrzenią liniową

A ideał nierozkładalny to jest ideał główny?

Wygląda na to, że tak...

Masz przykład \(\displaystyle{ \ZZ^2}\)

jest generowany przez ideały:

\(\displaystyle{ ((9,0)) \wedge ((0,8))}\)

Jest sumą prostą tych ideałów w skończonych sumach pewnie jest to prawda ...

Dodano po 8 godzinach 53 sekundach:
Przepraszam palnąłem bzdurę chodzi mi o ideały np:

\(\displaystyle{ (8) , (9)}\)

Które generują \(\displaystyle{ \ZZ}\) a nie \(\displaystyle{ \ZZ^2}\), chyba o czym innym myślałem...

Ale ideał \(\displaystyle{ (8)}\) to jest chyba po prostu zbiór liczb całkowitych podzielnych przez \(\displaystyle{ 8}\) tak? No to jak on może generować całe \(\displaystyle{ \ZZ}\)? Chyba, że chodzi Ci o te dwa ideały, to znaczy łącznie z \(\displaystyle{ (9)}\), że generują \(\displaystyle{ Z}\), to z kombinacji liniowych \(\displaystyle{ 8,9}\) można dostać jedynkę, więc faktycznie to generuje całe \(\displaystyle{ \ZZ}\). Tak na to należy patrzeć? A możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ R=\ZZ}\)? i wtedy jakie będą mogły być te \(\displaystyle{ I_1,I_2,...}\)?

Oczywiście brałem pod uwagę względnie pierwsze samo \(\displaystyle{ (8)}\) nie generuje \(\displaystyle{ \ZZ}\).

A można o tym \(\displaystyle{ R}\) myśleć na przykład jak o \(\displaystyle{ \ZZ}\) i napisać \(\displaystyle{ \ZZ=(8)\oplus (9)}\)? Ale to chyba tak nie działa...? Zastanawiam się nad jakimś przykładem takiego pierścienia i jego rozkładzie na sumy proste ideałów.

a czemu by nie? dla mnie można...

Dodano po 50 sekundach:
Choć rozkłady na sumy proste ideałów to temat bardzo mało popularny, raczej bardziej idzie to w modułach...

Ale takie coś: \(\displaystyle{ \ZZ=(8)\oplus (9)}\) to jest prawda?

No wygląda dość prawdziwie... nie mam przeciwskazań...

No, ale to w takim razie to: \(\displaystyle{ \ZZ=(1)\oplus (2)}\), a nawet \(\displaystyle{ \ZZ=(1)}\) też jest prawdą. A to by znaczyło, że teza z zadania nie jest prawdziwa bo tam jest, że w rozkładzie mamy dostać te same czynniki z dokładnością tylko do kolejności.

\(\displaystyle{ \ZZ=(1)}\)

jest rozkladalny

Dodano po 1 godzinie 46 minutach 56 sekundach:
Tu muszę wnieść poprawkę, niestety suma prosta ideałów, żeby była pierścieniem R musi mieć przecięcie równe zero (element zerowy)
więc nie będzie np. z tego względu ten mój przykład pożal się Boże... przykładem sumy prostej, to co wcześniej było dobrze więc np:

\(\displaystyle{ I=((a,0)), J=((0,b)), a,b \in Z}\)

są to ideały w \(\displaystyle{ R=\ZZ^2}\)

Oczywiście wewnętrzna suma prosta tych ideałów to \(\displaystyle{ R}\)

zachodzi wymagany warunek:

\(\displaystyle{ IJ=0}\)

No a oczywiście:

\(\displaystyle{ (8) \cap (9) \neq 0}\)

Bardzo nieczęsto się używa sum prostych ideałów...