Matematyka.pl

Uzasadnić, że \(\displaystyle{ R}\) jest pierścieniem (pół)pierwszym \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\) \(\displaystyle{ M_n(R)}\) jest taki.

Jak to zrobić?

Taki mój pomysł dla macierzy dwa na dwa żeby było prościej:

Jeżeli

\(\displaystyle{ J }\)jest ideałem w \(\displaystyle{ R}\)

To jego reprezentacja macierzowa w\(\displaystyle{ M_{2}(R)}\) wygląda tak:

\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}I&IR\\RI&RIR\end{array}\right]}\)

Podnieś tę macierz do drugiej potęgi i porównaj do zera ...I czy wyjdzie z tego , że \(\displaystyle{ J=0}\)

Ok, ale chwila, udowadniasz w prawo czy w lewo? Zakładam, że w prawo, więc zgodnie z definicją zakładamy, że:
\(\displaystyle{ \forall a : aRa \subseteq (0) \Rightarrow a \in (0)}\) i trzeba pokazać, że
\(\displaystyle{ \forall a \in M_2(R): aM_2(R)a \subseteq (0) \Rightarrow a \in (0)}\)
i jak to dalej idzie? Te \(\displaystyle{ J}\) bierzesz jako to \(\displaystyle{ a}\)? Tam chyba też powinno być tak:
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}J&JR\\RJ&RJR\end{array}\right]}\). I dlaczego tą macierz trzeba do kwadratu podnieść? To pewnie jest związane z tym \(\displaystyle{ aM_2(R)a}\), ale nie jestem pewien. Jakbyś mógł to podaj trochę więcej logiki w tym dowodzie w sensie co jak idzie po kolei i co trzeba pokazać bo się nie mogę połapać. I weźmy dla uproszczenia, że to \(\displaystyle{ R}\) to jest zwykły pierścień \(\displaystyle{ \ZZ}\) liczb całkowitych bo za dużo tu abstrakcji jak dla mnie.

Może troszkę namieszałem ci ale można to tak:

Zakładam, że \(\displaystyle{ R}\) jest z jedynką

Z: R półpierwszy

T:\(\displaystyle{ M_{n}(R)}\) - półpierwszy

Niech \(\displaystyle{ I }\)ideał w \(\displaystyle{ R}\)

Twierdzenie mówi nam, że ideał odpowiadający ideałowi \(\displaystyle{ I}\) w pierścieniu macierzy to:

\(\displaystyle{ A= M_{n}(I)}\)

ale:

\(\displaystyle{ A^2= M_{n}(I) \cdot M_{n}(I)= M_{n}(I^2)}\) - też korzystam z twierdzenia , które mówi, że:

\(\displaystyle{ M_{n}(I) \cdot M_{n}(J)= M_{n}(IJ)}\) , dla dowolnych ideałów

ale mamy, że:

\(\displaystyle{ I^2=0 \Rightarrow I=0}\)

wynika, że:

\(\displaystyle{ A=0}\)

w drugą stronę podobnie...

Skorzystałem z dwóch twierdzeń inaczej by było trudno...

Dodano po 29 minutach 32 sekundach:
Jeszcze jedno każdy pierścień można zanurzyć w pierścieniu z jedynką...

Dodano po 7 minutach 32 sekundach:
np. macierz odpowiadająca ideałowi:

\(\displaystyle{ (5)}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ M_{2}(\ZZ)}\)

będzie pewnie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5a&5b\\5c&5d\end{bmatrix}}\)

Ok, dzięki teraz trochę więcej rozumiem, tylko nie rozumiem jednej rzeczy. Bo definicja półpierwszości \(\displaystyle{ R}\) to jest to co wcześniej napisałem, że: \(\displaystyle{ \forall a : aRa \subseteq (0) \Rightarrow a \in (0)}\), a u ciebie jest:
\(\displaystyle{ I^2=0 \Rightarrow I=0}\) i to chyba jedno powinno odpowiadać drugiemu, ale dlaczego te dwie definicje są równoważne?

To są równoważne warunki...

Dodano po 5 minutach 31 sekundach:
Ja jednej rzeczy nie rozumiem Twój wykładowca jest raczej dydaktycznym zerem skoro nie daje żadnych przykładów , dyskusji, porównań, itd...

Zapodaje Ci dość suchą paszę i nawet nie pyta jak to smakuje..., a może się mylę...

Znaczy to jest trochę złożone, bo na początku semestru miałem przykry wypadek przez co nie uczestniczyłem w zajęciach na początku semestru i zrobiły mi się zaległości, ale tego co jest teraz na wykładach to kompletnie nie rozumiem, pewnie to jest trochę wina wykładowcy, ale też trochę moja wina bo jestem ciężko myślący zwłaszcza do algebry. Mam notatki wykładowcy, ale część jest po angielsku, a część po polsku napisana przez wykładowcę, ale jest tak nabazgrolone, że się odechciewa tego czytać. Dlatego na własną rękę staram się przerabiać zadania w zasadzie bez wykładu. Jak są jakieś definicje, których nie znam to szukam w necie. Opornie mi to wszystko idzie, zresztą to widać. No, ale cóż jest jak jest, nie ma co narzekać tylko robić swoje.

A wracając do meritum, powiedz mi czy dobrze zrozumiałem:
Zakładamy, że \(\displaystyle{ A^2=0}\) i chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ A=0}\). Ale \(\displaystyle{ A^2=M_n(I^2)}\), więc musi być \(\displaystyle{ I^2=0}\) i z półpierwszości \(\displaystyle{ R}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ I=0}\). A skoro tak to \(\displaystyle{ A=0}\). To jest dobra logika w tym dowodzie?

Tak

No dobra, a w drugą stronę? Bo nie mam co do tego jasności.

\(\displaystyle{ M_{n}(J)^2=M_{n}(J^2)=0 }\)

ale:

\(\displaystyle{ M_{n}(J)=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ J=0}\)

czyli \(\displaystyle{ R}\) półpierwszy...