Matematyka.pl

Niech\(\displaystyle{ X=C_{[-a,a]}}\) oraz \(\displaystyle{ u ∈ X}\) będzie dowolną funkcją parzystą (nieparzystą). Niech \(\displaystyle{ h^*}\) będzie elementem optymalnym dla funkcji u w skończenie wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) spełniającej warunek Haara. Czy u również jest funkcją parzystą (nieparzystą)?

Podejrzewam, ze odpowiedź będzie pozytywna, ale nie wiem jak to pokazać. Oczywiście wiem czym jest funkcja parzysta, znam warunek Haara, wiem czym jest element optymalny. Wszystko sobie rozpisałem ale przydałaby mi się jakaś delikatna wskazówka bo nie wiem jak rozpocząć dowód.

Odpowiedz jest pozytywna.

Funkcja \(\displaystyle{ f\in C([-1, 1]) }\) jest parzysta, to znaczy \(\displaystyle{ f(-x) = f(x) }\)

i załóżmy, że jej element \(\displaystyle{ h^{*} = w (x) }\) jest wielomianem optymalnym dla \(\displaystyle{ f. }\)

Wtedy wielomian \(\displaystyle{ w_{1}(x) = w(-x) }\) jest wielomianem też optymalnym, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\in [-1, \ \ 1] }\) mamy

\(\displaystyle{ f(x) - w_{1}{x} = f(-x) - w(-x), }\)

a stąd

\(\displaystyle{ \parallel f - w_{1} \parallel_{C} \ \ = \parallel f - w \parallel_{C}.}\)

Ponieważ wielomian optymalny jest wyznaczony jednoznacznie, to \(\displaystyle{ w_{1} = w }\) czyli \(\displaystyle{ w }\) jest parzysty.