Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a: \left[ 1 , +\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} }\) , \(\displaystyle{ b: \left[ 1 , +\infty \right) \rightarrow \mathbb{R_{+}}}\) oraz \(\displaystyle{ a(t)=_{1}b(t)}\).
Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{ t \to +\infty} \left| \frac{a(t)}{b(t)} \right| }\)

Definicja równości w "sensie jednen"
\(\displaystyle{ a(t)=_{1}b(t) }\) jeżeli spełniony jest następujący warunek \(\displaystyle{ \exists K>0 \exists t_{0} \ge 1 }\) \(\displaystyle{ \forall t \ge t_{0} : \left| a(t)-b(t)\right| \le K \cdot 2^{-t} \cdot \left| b(t)\right| }\) lub równoważnie
\(\displaystyle{ \exists K>0 \exists t_{0} \ge 1 }\) \(\displaystyle{ \forall t \ge t_{0} : \left| a(t)-b(t)\right| \le K \cdot 2^{-t} \cdot \left| a(t)\right| }\)

Wskazówka:
warunek
\(\displaystyle{ |a(t)-b(t)|\le K\cdot 2^{-t}|b(t)|}\) podziel stronami przez \(\displaystyle{ |b(t)|}\).

Już rozumiem, dzięki.

Mam jeszcze kłopot z takim zadaniem :
Niech \(\displaystyle{ a:\left[ 1 , + \infty \right) \rightarrow \mathbb{R} }\) oraz \(\displaystyle{ a(t)=_{1} 0}\). Pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ t_{0} \ge 1}\) takie, że \(\displaystyle{ a(t)=0 \ \ \forall t>t_{0}}\)

Skoro \(\displaystyle{ a(t)=_10}\) to \(\displaystyle{ \left( \exists K>0 \right) \left( \exists t_{0} \ge 1\right) \left( \forall t \ge t_{0}\right) \left( \left| a(t)\right| \le K \cdot 2^{-t} \cdot \left| 0\right|\right) }\). Weź więc to samo \(\displaystyle{ K}\) oraz to samo \(\displaystyle{ t_0}\) i ustalmy dowolne \(\displaystyle{ t \ge t_0}\) wtedy: \(\displaystyle{ \left| a\left(t \right)\right| \le 0 }\) zatem \(\displaystyle{ a(t)=0}\).