Matematyka.pl

1. Zbadać zbieżność szeregów:
a) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{\sin(spacja)n}{10n^2} }\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{2n^3}{n!} }\)

2. Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego: \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(n+1)!(x+7)^n}{(2n-1)!} }\). Czy szereg ten jest zbieżny w punkcie \(\displaystyle{ x = -13}\)?

3.
a) Obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ an = \sqrt[n]{7 \cdot 2^n+3 \cdot 8^n} }\)
b) Zbadać zbieżność szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \left( \frac{2n-12}{4n-2} \right)^{3n} }\)

4. Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ d: \ZZ \times \ZZ \to [0, +\infty)}\) dana wzorem \(\displaystyle{ d(n,m) = \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right|}\) jest metryką w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\).Wyznaczyć kulę \(\displaystyle{ K \left( -2, \frac{1}{3} \right) }\) w tej metryce.

marcinkiewicz123

Nie ten dział. To nie probabilistyka tylko analiza - ciągi i szeregi liczbowe.

Dla przyzwoitości wypada coś dać od siebie, a nie liczyć na gotowce. Niech inni rozwiążą. A ja student przedstawię wykładowcy swoje rozwiązanie.

Zrobiłem już zadanie 1, 3a oraz b, pozostaje więc zadanie DRUGIE oraz CZWARTE.

Dodano po 12 minutach 57 sekundach:
ostatnie również zrobione!

2. Najpierw podstawienie \(\displaystyle{ t=x+7}\), a potem korzystasz z tw. Cauchy'ego-Hadamarda:


Rachunki może ułatwić następujący, dość znany, lemat:
jeśli \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich i istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=g}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=g}\). Tutaj \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{(n+1)!}{(2n-1)!}}\).

\(\displaystyle{ \left( 4\right) }\) robi się przez sprawdzenie warunków na metrykę i napisanie definicji kuli. To znaczy sprawdzasz, czy funkcja \(\displaystyle{ d}\) faktycznie jest metryką przez sprawdzenie:

\(\displaystyle{ \left( i\right) }\) zerowania się jedynie na elementach identycznych

\(\displaystyle{ \left(i i\right) }\) symetryczności

\(\displaystyle{ \left( iii\right) }\) nierówni trójkąta

ale w to można uwierzyć. Faktycznie do policzenia jest:

\(\displaystyle{ K\left( -2, \frac{1}{3} \right)=\left\{ x\in\ZZ: d\left( -2,x\right)< \frac{1}{3} \right\}=\left\{ x\in\ZZ: \left| \frac{1}{-2}- \frac{1}{x} \right| < \frac{1}{3} \right\} =\left\{ x\in\ZZ: \left| \frac{1}{2}+ \frac{1}{x} \right| < \frac{1}{3} \right\} }\)

sprawdź jakie całkowite liczby są w tym zbiorze to znaczy spełniają \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2}+ \frac{1}{x} \right| < \frac{1}{3}}\)