Zadanie z nierównością
: 25 lis 2020, o 10:21
Cześć!
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu poniższej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{2a+1}{b+c+1} + \frac{2b+1}{c+a+1} + \frac{2c+1}{a=b=1} \ge 3 }\),
gdzie liczby a,b,c są dodatnie.
Ja rozwiązując tę nierówność podstawiłem sobie w ten sposób:
\(\displaystyle{ b+c+1 = x }\)
\(\displaystyle{ a+c+1 = y }\)
\(\displaystyle{ b+a+1 = z }\)
Co doprowadziło mnie do takiej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{y+z-x}{x} + \frac{x+z-y}{y} + \frac{x+y-z}{z} \ge 3 }\)
W rozwiązaniach zadań jest napisane, że ostatnia równość "jest prawdziwa dla dodatnich \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z }\) na podstawie zależności między średnią arytmetyczną a geometryczną, co kończy rozwiązanie zadania"
Czy ktoś potrafiłby mi dokładnie wyjaśnić, gdzie jest ta zależność? Niestety rozwiązuję już któryś raz i wciąż nie mogę tego wyraźnie dostrzec.
Z góry dziękuję za odpowiedź
Powyższe zadanie to zadanie nr. 19 z książeczki "Nierówności dla początkujących olimpijczyków"
pdf:
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu poniższej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{2a+1}{b+c+1} + \frac{2b+1}{c+a+1} + \frac{2c+1}{a=b=1} \ge 3 }\),
gdzie liczby a,b,c są dodatnie.
Ja rozwiązując tę nierówność podstawiłem sobie w ten sposób:
\(\displaystyle{ b+c+1 = x }\)
\(\displaystyle{ a+c+1 = y }\)
\(\displaystyle{ b+a+1 = z }\)
Co doprowadziło mnie do takiej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{y+z-x}{x} + \frac{x+z-y}{y} + \frac{x+y-z}{z} \ge 3 }\)
W rozwiązaniach zadań jest napisane, że ostatnia równość "jest prawdziwa dla dodatnich \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z }\) na podstawie zależności między średnią arytmetyczną a geometryczną, co kończy rozwiązanie zadania"
Czy ktoś potrafiłby mi dokładnie wyjaśnić, gdzie jest ta zależność? Niestety rozwiązuję już któryś raz i wciąż nie mogę tego wyraźnie dostrzec.
Z góry dziękuję za odpowiedź
Powyższe zadanie to zadanie nr. 19 z książeczki "Nierówności dla początkujących olimpijczyków"
pdf:
Kod: Zaznacz cały
https://omj.edu.pl/uploads/attachments/Nierownosci.pdf