Matematyka.pl

Otóż coś sobie wymyśliłem i pragnę o tym napisać możliwe, że ktoś wcześniej już to wymyślił więc pewnie nie będę pionierem no ale:

Na zbiorze liczb rzeczywistych robimy relację :


\(\displaystyle{ x,y }\)- liczby niewymierne ,\(\displaystyle{ \alpha}\) - liczba wymierna \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x=\alpha \cdot y}\)

Czyli jeżeli dla dwóch dowolnych liczb niewymiernych istnieje istnieje taka wymierna że spełniona jest powyższa zależność...

Będzie to relacja równoważności, która liczby niewymierne dzieli na klasy abstrakcji...

I teraz z każdej klasy abstrakcji wybieramy jednego przedstawiciela i w ten sposób tworzymy zbiór \(\displaystyle{ H}\)

Wykazać lub obalić czy jest to baza Hamela Przestrzeni liniowej liczb rzeczywistych nad ciałem liczb wymiernych

Czy \(\displaystyle{ H}\) jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a

rozumiem, ze zakladasz, ze \(\alpha\neq 0\), w przeciwnym razie to nie jest relacja rownowaznosci

tak otrzymany zbior nie jest baza \(\mathbb R\) nad \(\mathbb Q\), gdyz nalezy do niego \(0\) (bo jedna z klas rownowaznosci jest singleton \(\{0\}\))

nawet jesli wyrzuci sie zero to nie dostaniemy bazy chocby dlatego, ze reprezentanty klas rownowaznosci liczb \(\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 2 + \sqrt 3\) sa liniowo zalezne

\(H\) nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a, podobny motyw jak z klasycznym zbiorem Vitalego

No tak masz rację , fajnie , ...