Matematyka.pl

Witam,

Męczę się z zadaniem z mechaniki płynów. Zadanie wydaje się prostę, jednak trudność znalezienia zależnosci saprowadza je do poziomu niewykonalności. Chodzi o wyznaczenie siły P, aby zrównoważyć działanie ciężaru tłoka Q.

Problem polega na tym, że ta dźwignia nie jest nigdzie podparta i nie mam pojęcia jak znaleźć zależność, aby powiązać siłę P z czymkolwiek innym.

Pozdrawiam

To zadanie pochodzi z książki "Zbiór zadań z mechaniki płynów "Gołębiewski, Łuczywek, Walicki. Poprawna odpowiedź to:

\(\displaystyle{ P=Q \frac{(a/b)(d/D)^{2}}{1+(a/b)+(d/D)^{2}}}\)

Tak, znam odpowiedź, mam podręcznik, ale jak do niej dojść? To jest pytanie

Dodano po 1 godzinie 25 minutach 42 sekundach:
Tak jak mówiłem, zadanie wydaje się proste, ale brakuje mi zależności na dźwignie...
Wiem, że żeby zrównoważyć ciężar tłoka Q, muszę osiągnąć siłe \(\displaystyle{ Q' = Q(D/d) ^{2} }\)


Ale skoro nie mam punktu podparcia, nie wiem jak powiązać siłę P z Q'... odpowiedź znam, ale mi nie podpowiada nic w żadnym stopniu :/

Jeżeli oznaczyć:
\(\displaystyle{ S_1}\) siła w tłoczysku dużego tłoka ,
\(\displaystyle{ S_2}\) - siła w tłoszysku mniejszego tłoka, ale i reakcja \(\displaystyle{ R_B}\)
\(\displaystyle{ \gamma}\) - ciężar jednostkowy cieczy,
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość słupa cieczy pod dużym tłokiem.
\(\displaystyle{ \Delta H}\) - różnica wysokości słupów cieczy pod tłokami, małym i dużym ; słup pod małym większy.
\(\displaystyle{ p}\) - ciśnienie na dnie
\(\displaystyle{ Q}\) - ciężar dużego tłoka,
\(\displaystyle{ P}\) - siła na końcu ramienia ABC w punkcie \(\displaystyle{ C}\)
Tłok mały bezmasowy,

to:
\(\displaystyle{ P+ S_2 - S_1 = 0}\) .... (1)
\(\displaystyle{ S_1 \cdot a = P \cdot b}\) .... (2)
\(\displaystyle{ \frac{4(Q-S_1)}{ \pi D^2} + \gamma H =p}\) .... (3)
\(\displaystyle{ \frac{4S_2 }{ \pi d^2} + \gamma (H+\Delta H) = p }\) .... (4)

Równania (1) i (2) opisują równowagę dźwigni ABC
zaś (3) i (4) ciśniena na dnie rur \(\displaystyle{ D \ i \ d }\)
Z hydrostatyki wiadomo, że ciśnienia te są równe co jest konsekwencją połączenia obu rur jak na rysunku.
zatem \(\displaystyle{ (3)}\) = \(\displaystyle{ (4)
}\)

I jak dalej należy postąpić aby otrzymać odpowiedź - wzór na siłę \(\displaystyle{ P}\) ? Trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ S_{2}}\) z pierwszego równania, \(\displaystyle{ S_{1}}\) z drugiego a następnie podstawić je pod \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S_{2}}\) w równaniach 3 i 4 a na koniec przyrównać je ze sobą ?

\(\displaystyle{ S_{2}=S_{1}-P}\)

\(\displaystyle{ S_{1}=\frac{P \cdot b}{a}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4(Q- \frac{Pb}{a})}{ \pi D^2} + \gamma H = \frac{4 \cdot ((\frac{P \cdot b} {a})-P) }{ \pi d^2} + \gamma (H+\Delta H)}\)

Wychodzi inaczej niż w książce:

\(\displaystyle{ P=-\frac{ad^{2}(4 D^{2}Q- \pi \Delta H y)}{4(2a-b d^{2}D^{2}-b)}}\)

O ile równanie przedostatnie jest wymiarowo poprawne, to ostatnie już nie.