Matematyka.pl

Ile jest liczb trzycyfrowych w których cyfry się nie powtarzają?

Rachunek wyglada nastepujaco: \(\displaystyle{ 9\cdot 9\cdot 8}\) wiec jest \(\displaystyle{ 648}\) takich liczb. Jesli jednak bym liczyl "od tyl" mam na mysli ze najpierw licze ile mozliwosci jest wyboru liczby na miejscach jednosci, sa to \(\displaystyle{ 10}\), na miejsce dziesietne \(\displaystyle{ 9}\), a na miejsce setne \(\displaystyle{ 8}\). Wtedy wychodzi \(\displaystyle{ 10 \cdot 9 \cdot 8}\) wiec \(\displaystyle{ 720}\). Gdzie tu jest blad w mysleniu?

Dla uświadomienia charakteru błędu może coś, co łatwiej policzyć w głowie: a jak to jest z liczbami naturalnymi dwucyfrowymi, w których cyfry mają się nie powtarzać? Jest ich \(\displaystyle{ 9^{2}}\), czy może \(\displaystyle{ 10\cdot 9}\), czyli tyle, co wszystkich liczb dwucyfrowych?

Twoje drugie podejście zakłada, że jak już wybierzemy ostatnią i środkową cyfrę liczby trzycyfrowej, to mamy zawsze osiem możliwości wyboru pierwszej cyfry tak, aby żadna cyfra się nie powtarzała. Jednak nie jest to zawsze prawdą, bo jeśli ani ostatnią, ani środkową cyfrą nie było zero, to na pierwszym miejscu nie możemy ustawić tych dwóch już wybranych cyfr ani zera, np. jest siedem liczb trzycyfrowych kończących się cyframi \(\displaystyle{ 31}\) (czyli przystających do \(\displaystyle{ 31}\) modulo \(\displaystyle{ 100}\)) bez powtarzającej się cyfry, a nie osiem, jak sugerowałoby Twoje drugie podejście (bo nie możemy tu dać \(\displaystyle{ 031}\)).
Jeśli chciałbyś liczyć od ostatniej cyfry poczynając, to przy tym podejściu trzeba rozróżnić przypadki z zerem na jednej z dwóch ostatnich pozycji i bez niego.

Dziekuje bardzo, prawie zrozumialem! Obliczylem tak jak proponowales z przypadkiem gdzie jedna z ostatnich cyfr jest zerem. Wychodzi wtedy \(\displaystyle{ 8\cdot 1\cdot 9 + 8\cdot 9\cdot 1 + 7\cdot 8\cdot 9 = 648}\), wiec sie zgadza. Ale tez wymieniles nastepujace:

...np. jest SIEDEM liczb trzycyfrowych kończących się cyframi \(\displaystyle{ 31}\) (czyli przystających do \(\displaystyle{ 31}\) modulo \(\displaystyle{ 100}\)) bez powtarzającej się cyfry, a nie OSIEM, jak sugerowałoby Twoje drugie podejście..

. To gdzie "uciekly" \(\displaystyle{ 18}\) liczb jak bym liczyl \(\displaystyle{ 10 \cdot 9 \cdot 7 = 630}\)?
Dziekuje!

No te liczby Ci „uciekły", ponieważ nie rozróżniłeś, wbrew temu, co pisałem, przypadków: tego, w którym na ostatnim lub środkowym miejscu wystąpiło zero i tego, w którym nie wystąpiło zero. Jeśli chodzi o układy bez zera, to jest ich \(\displaystyle{ 9\cdot 8\cdot 7=504}\), natomiast układów z zerem mamy \(\displaystyle{ 2\cdot 9\cdot 8= 144}\), co razem daje upragnione \(\displaystyle{ 648}\).
W pierwszym przypadku po prostu wybieramy trzy różne cyfry ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}}\) (czyli bez zera), w drugim na dziewięć sposobów ustalamy niezerową cyfrę, która trafi na jedno z dwóch ostatnich miejsc, dwójka bierze się stąd, że możemy ustawić ją na środku albo na koncu (a na pozostałej z dwóch ostatnich pozycji ląduje zero), no a na osiem sposobów (nie zero i nie ta wybrana niezerowa cyfra) ustalamy pierwszą cyfrę liczby. Jak widać, jest tu więcej liczenia niż w przypadku, w którym zaczynamy od pierwszej cyfry.

Można też robić to zadanie w zupełnie innym stylu, tj. zliczyć wszystkie liczby trzycyfrowe i od ich liczby odjąć liczbę tych trzycyfrowych, w których jakieś cyfry się powtarzają, ale uważam to za mniej wygodne.

Teraz rozumiem! Dziekuje bardzo za wytlumaczenie! Pozdrawiam.