Samopodobieństwo
: 22 lis 2020, o 20:14
Proszę o pomoc w dowodzie tego twierdzenia
Twierdzenie
\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty}(\sup\{\text{diam}[\alpha]: \alpha \in E^{k}\})=0}\)
Załóżmy, że nieujemna liczba \(\displaystyle{ N_{\alpha}}\) jest podana dla każdego skończonego ciągu \(\displaystyle{ \alpha}\).
W jakich warunkach istnieje miara zewnętrzna \(\displaystyle{ \overline{M}}\) na \(\displaystyle{ E^{(N)}}\) gdzie \(\displaystyle{ \overline{M}({\alpha})=N_{\alpha}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \alpha}\)? Ponieważ jest to miara zewnętrzna, otwarte zbiory\(\displaystyle{ [\alpha]}\) są mierzalne, więc \(\displaystyle{ \overline{M}}\) jest do nich addytywna. Teraz zbiór \(\displaystyle{ [\alpha]}\) jest rozłączną sumą zbiorów \(\displaystyle{ [\beta]}\) jako \(\displaystyle{ \beta}\) zakres potomków \(\displaystyle{ \alpha}\) (to jest, \(\displaystyle{ \beta=\alpha e}\) dla \(\displaystyle{ e=E}\)).
Twierdzenie
\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty}(\sup\{\text{diam}[\alpha]: \alpha \in E^{k}\})=0}\)
Załóżmy, że nieujemna liczba \(\displaystyle{ N_{\alpha}}\) jest podana dla każdego skończonego ciągu \(\displaystyle{ \alpha}\).
W jakich warunkach istnieje miara zewnętrzna \(\displaystyle{ \overline{M}}\) na \(\displaystyle{ E^{(N)}}\) gdzie \(\displaystyle{ \overline{M}({\alpha})=N_{\alpha}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \alpha}\)? Ponieważ jest to miara zewnętrzna, otwarte zbiory\(\displaystyle{ [\alpha]}\) są mierzalne, więc \(\displaystyle{ \overline{M}}\) jest do nich addytywna. Teraz zbiór \(\displaystyle{ [\alpha]}\) jest rozłączną sumą zbiorów \(\displaystyle{ [\beta]}\) jako \(\displaystyle{ \beta}\) zakres potomków \(\displaystyle{ \alpha}\) (to jest, \(\displaystyle{ \beta=\alpha e}\) dla \(\displaystyle{ e=E}\)).