Matematyka.pl

Witam,

mam problem z równaniem. Próbowałem już wszystkiego i dalej nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc.

Zadanie: Czy możliwe jest znalezienie takich wartości \(a\) i \(x\), że \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)

Tak, to jest możliwe...
Dla \(\displaystyle{ a=e^{1\over e}}\) jest jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=e}\), dla \(\displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}\) istnieją dwa rozwiązanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

Zacznij od interpretacji graficznej równania... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne, czyli spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\). Dla mniejszych \(\displaystyle{ a}\) wykresy przetną sie dwukrotnie.

Pozdrawiam

Dzięki za odpowiedź.
A możesz mi jeszcze powiedzieć skąd się wzięło \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{e} } }\)?

Dodano po 3 godzinach 7 minutach 35 sekundach:
Ok. Już doszedłem to tego. Jeszcze tylko proszę o wyjaśnienie czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?

SemastianM pisze: 22 lis 2020, o 14:38 ... czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?

Skoro wykresy są styczne, to m.in. pochodne są równe. Nie nazwałbym tego regułą, ale nietuzinkowym wykorzystaniem pochodnej.

Pozdrawiam

No tak, wszystko jasne. Dzięki!

@JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie?

Mondo pisze: 22 lis 2020, o 23:19 @JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie?

Ideę ogarnąłeś?

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ...spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\).

czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {1\over x\ln a}=1\end{cases}\\
\begin{cases}\ln x=x\ln a \\ 1= x\ln a\end{cases}\Rightarrow \ln x=1\iff x=e}\)
Zatem, z (ii),
\(\displaystyle{ \ln a={1\over e}\iff a=e^{1\over e}}\)

Pozdrawiam

JHN pisze: 23 lis 2020, o 01:52

Mondo pisze: 22 lis 2020, o 23:19 @JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie?

Ideę ogarnąłeś?

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ...spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\).

No nie bardzi właśnie jak dla mnie jeśli ma być `log_a(x) = a^x` to `a^{a^x} = x` tak więc skąd u ciebie w układzie równań `log_a(x) = x`?

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne,...

W szczególności obydwa wykresy są styczne w tym samym punkcie do \(\displaystyle{ y=x}\), czyli \(\displaystyle{ \log_ax=x=a^x}\)

Pozdrawiam

Mówiąc

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 ... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ? Tutaj mam plot dla tych dwóch właśnie (jako `a` podstawiłem 10) i zdaje się, że nie są symetryczne względnem żadnej prostej zgadza się?

SemastianM pisze: 21 lis 2020, o 23:06 \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 Zacznij od interpretacji graficznej równania...

Czyli
\(\displaystyle{ y_L=\log_{a}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ y_P=a^{x}}\)
Są to funkcje wzajemnie odwrotne.

JHN pisze: 22 lis 2020, o 01:36 wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

Jest to własność takich funkcji!

Mondo pisze: 25 lis 2020, o 16:02 ...masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ?

W którym miejscu to napisałem Nota bene widzę wzór tylko jednej funkcji...
Przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem cały wątek

Kończę i pozdrawiam

Ok już rozumiem metodykę tego rozwiązania - bardzo ładne, dziekuję

Podobnie można także utworzyc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}x} = 1 \end{cases}\\}\)

Mam jeszcze takie pytanie, po wyznaczeniu `a = e^{1/e}` podajesz, że dla przedzielu \(\displaystyle{ \displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}}\) istneiją dwa rozwiązania - jak to wyznaczyłeś?

Dziękuję

Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.

Pozdrawiam

JHN pisze: 26 lis 2020, o 01:37 Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.

Pozdrawiam

Tak, widzę te rozwiązania patrzac równolegle na wykresy funkcji `ln_a(x)` oraz `y = x` i masz rację dla `1,1` `1,2` i kilka innych wartości spełniają to równanie. Natomiast zastanawiam się czy istenieje algebraiczna metoda znalazienia tych rozwiązań?

Pozdrawiam