Matematyka.pl

Proszę o pomoc w wyznaczeniu funkcji granicznej i zbadaniu charakteru zbieżności ciągów funkcyjnych określonych na \(\displaystyle{ [0,1]}\).

* \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{2nx}{1+ n^{2}\cdot x^{2} } }\)

* \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{ x^{2} }{x ^{2} + (n\cdot x-1) ^{2} } }\)

Jeśli chodzi o zbadanie zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego, to wystarczy sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}(\sup_{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f(x)|)=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest granicą punktową ciągu \(\displaystyle{ (f_{n})(x)}\).
Możesz zacząć od wyznaczenia granic punktowych, a potem poszukać tych supremów (funkcja dla każdego \(\displaystyle{ n}\) jest ciągła, a zbiór zwarty, więc będą osiągnięte) za pomocą rachunku różniczkowego (można też użyć nierówności między średnimi, ale akurat te przykłady są tak dobrane, że to zadziała, a nie zawsze tak będzie). Na przykład w pierwszym granicą punktową na \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\).

Policz \(\displaystyle{ f_n\left( \frac{1}{n} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n} \right) }\) . Ta wskazówka tyczy się każdego podpunktu. Wtedy nie tzreba liczyć supermów bo w szczególności: