Matematyka.pl

Mam na przykład zadanie: Mamy daną grupę abelową \(\displaystyle{ G}\) oraz \(\displaystyle{ x, y \in G}\) takie, że \(\displaystyle{ ord(x) = 3}\), \(\displaystyle{ ord(y) = 4}\). Wyznacz \(\displaystyle{ ord(xy)}\).
Czy jest jakiś inny sposób do pokazania, że \(\displaystyle{ ord(xy) = 12 }\) oprócz kolejnego wypisywania potęg grupy \(\displaystyle{ <xy>}\)? Wypisywanie niby nie jest złe, ale z drugiej strony jeśli rząd byłby znacznie większy, to taki zabieg byłby wręcz niemożliwy.

Niech \((xy)^{11}=e\). Z przemienności grupy \(e=x^{11}y^{11}=x^2y^3\). Po pomnożeniu przez \(xy\) mamy \(xy=e\). Nie jest to możliwe, bo wtedy \(x=y^{-1}\), więc oba elementy \(x,y\) miałyby ten sam rząd. Spróbuj powtórzyć to rozumowanie i dla innych potęg.