Matematyka.pl

Zmienna losowa N ma rozkład \(\displaystyle{ Po(λ)}\) z parametrem \(\displaystyle{ λ}\), który chcemy oszacować. Niestety możemy obserwować jedynie zmienną losową \(\displaystyle{ M}\), która przyjmuje
wartość zero, jeśli \(\displaystyle{ N}\) równa się zero, a wartość jeden, jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest większa od zera.
Średnią arytmetyczną z próbki niezależnych obserwacji zmiennej M oznaczmy przez
\(\displaystyle{ {\overline{m}}}\) . Wyznaczyć \(\displaystyle{ ENW[λ]}\).
Szukam: \(\displaystyle{ ENW[λ]}\)
Określam zmienną \(\displaystyle{ M}\) i jej rozkład prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(M) = \begin{cases} e ^{-λ}, N=0 \\ 1-e^{-λ},N>0 \end{cases} }\)
Stąd, funkcja wiarogodności, generowana przez sumę zmiennych N:
\(\displaystyle{ L(λ;k{\overline{m}})= \frac{d}{ \dd λ } {k \choose k{\overline{m}}}( 1-e^{-λ})^{k{\overline{m}}}(e^{-λ})^{k-k{\overline{m}}} }\), a stąd z pochodnej oraz przyrównania do zera otrzymuję:
\(\displaystyle{ λ=log( \frac{k}{k-k{\overline{m}}}) }\).
Czy jest to poprawnie rozwiązane zadanie. a \(\displaystyle{ ENW[λ]=log( \frac{k}{k-k{\overline{m}}})}\)?

Czy mógłby Pan napisać postać funkcji wiarygodności \(\displaystyle{ L }\) przed jej zróżniczkowaniem?

Różniczkowałem logarytm funkcji wiarogodności: \(\displaystyle{ log\left( {k \choose k{\overline{m}}}( 1-e^{-λ})^{k{\overline{m}}}(e^{-λ})^{k-k{\overline{m}}}\right)=\log{k \choose k{\overline{m}}}+k{\overline{m}} \cdot \log( 1-e^{-λ})-λ(k-k{\overline{m}})}\).

Proponuję utworzyć z rozkładu \(\displaystyle{ P(M) }\) funkcję wiarygodności \(\displaystyle{ L }\) i wykorzystać daną średnią arytmetyczną z próbki \(\displaystyle{ \overline{m}. }\)