Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)}\) będzie próbą z danego rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \theta\in\Theta=(\infty,0).}\) Wykazać zupełność statystyki \(\displaystyle{ T(\mathbb{X})=\sum_{i=1}^nX_i.}\)

Pokaż że rozkład należy do rodziny wykładniczej

Gęstość rozkładu Poissona

\(\displaystyle{ p_{\theta} (x)= \frac{\theta^{x}}{x!}e^{-\theta}, \ \ \theta >0, \ \ x=0,1,2,3,...}\)

możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ p_{\theta} = \frac{1}{x!} exp[x\ln(\theta) - \theta].}\)

Jest to jednoparametrowa rodzina wykładnicza,

gdzie

\(\displaystyle{ C(\theta) = \ln(\theta), T(x) = x , \ \ B(\theta) = \theta, \ \ h(x) = \frac{1}{x!}.}\)

W naturalnej parametryzacji

\(\displaystyle{ p_{C}(x) = h(x)\cdot exp[C\cdot x - A(C)] }\)

gdzie

\(\displaystyle{ A(C) = e^{C}, \ \ C\in \RR, }\) gdyż \(\displaystyle{ C = \ln(\theta) }\) lub \(\displaystyle{ \theta = e^{C}.}\)