Matematyka.pl

Jak \(\displaystyle{ p-}\)podgrupy Sylowa grup (\(\displaystyle{ S _{3}, \ZZ _{12}, A_{4} }\)) są ze sobą sprzężone ?

Wiem, że dwie podgrupy \(\displaystyle{ H_{1},H_{2}}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) nazywamy sprzeżonymi, jeśli istneje \(\displaystyle{ g \in G}\) takie, że \(\displaystyle{ H_{1}=gH_{2}g ^{-1} }\).
Moje pytanie brzmi jak mam znaleźć taki element \(\displaystyle{ g }\) ? np. dla p-podgrupy Sylowa \(\displaystyle{ \left\{ {0,3,6,9}\right\}}\) grupy \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) ?

A skąd wiesz, że w grupie \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\) istnieje więcej niż jedna podgrupa rzędu cztery...

Faktycznie w \(\displaystyle{ Z _{12} }\) nie ma innych p-podgrup rzędu \(\displaystyle{ 4}\)

Ale w \(\displaystyle{ S_{3} }\) są \(\displaystyle{ 3}\) takie 2-podgrupy Sylowa rzędu \(\displaystyle{ 2}\) : \(\displaystyle{ \left\{ \sigma _{1} ,\sigma _{4} \right\} }\) \(\displaystyle{ \left\{ \sigma _{1} ,\sigma _{5} \right\} }\) \(\displaystyle{ \left\{ \sigma _{1}, \sigma _{6} \right\} }\)

Jak znaleźć nasze \(\displaystyle{ g}\) ?

Poeksperymentować. Wielu możliwości nie masz, więc próbuj.

Wsk: `S_3` to grupa izometrii trójkąta równobocznego.