Równianie różniczkowe, zadanie praktyczne

[Uniter]

Po jakim czasie cała woda wypłynie z pionowego cylindrycznego zbiornika o średnicy \(\displaystyle{ 2R = 1,8\,m}\) i wysokości \(\displaystyle{ H = 2,45\,m}\) przez otwór w dnie o średnicy \(\displaystyle{ 2r = 6\, cm}\)? Zakładamy, że woda wypływa ze zbiornika z szybkością równą \(\displaystyle{ k \sqrt{2gh} }\) , gdzie \(\displaystyle{ g = 10\,\frac{m}{s^2}}\) to przyspieszenie ziemskie, \(\displaystyle{ h}\) to wysokość poziomu wody nad otworem, a \(\displaystyle{ k}\) jest trochę bezwymiarowa współczynnik empiryczny równy \(\displaystyle{ 0,6}\) dla wody.


Jeśli ktoś by pomógł to byłbym wdzieczny :c

[a4karo]

Jeżeli w chwili `t` w czasie `\Delta t` wypłynie `\Delta m` wody, i na początku poziom wody był `h(t)` to ile wyniesie `\Delta h`?

[janusz47]

Analiza zadania

Niech \(\displaystyle{ h }\) będzie wysokością wody w naczyniu w pewnej chwili \(\displaystyle{ t. }\)

Ilość cieczy \(\displaystyle{ dV }\) wypływająca z naczynia w czasie \(\displaystyle{ dt }\) (od \(\displaystyle{ t }\) do \(\displaystyle{ t + dt }\) jest równa objętości walca o powierzchni podstawy \(\displaystyle{ s }\) i wysokości \(\displaystyle{ v(h)\cdot dt: }\)

\(\displaystyle{ dV = s\cdot v(h)\cdot dt.}\)

Tą samą objętość można obliczyć w inny sposób.

Na skutek wypływu wody jej poziom w zbiorniku obniżył się o \(\displaystyle{ dh, }\) a więc

\(\displaystyle{ dV = -S(h)\cdot dh }\) (znak jest zgodny z warunkiem \(\displaystyle{ dh < 0 }\)).

Porównując oba równania na \(\displaystyle{ dV, }\) otrzymujemy równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ s\cdot v(h) \cdot dt = -S(h) \cdot dh }\)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

Rozdzielając zmienne

\(\displaystyle{ dt = -\frac{S(h)}{s\cdot v(h)}dh }\)

i całkując mamy

\(\displaystyle{ t = -\frac{1}{s}\int_{H}^{h} \frac{S(h)}{v(h)}dh = \frac{1}{s}\int_{h}^{H} \frac{S(h)}{v(h)} dh.}\)

Czas \(\displaystyle{ T }\) całkowitego opróżnienia zbiornika odpowiada \(\displaystyle{ h = 0, }\) a zatem

\(\displaystyle{ T = \frac{1}{s} \int_{0}^{H}\frac{S(h)}{v(h)}dh. }\)

Jeśli ciecz wypływa przez mały otworek w dnie naczynia lub krótki odpływ, to zgodnie z Prawem Torricellego

\(\displaystyle{ v = k\sqrt{2g\cdot h}, }\)

\(\displaystyle{ k }\) jest współczynikiem empirycznym (współczynnikiem wydatku, dla wody \(\displaystyle{ k = 0,6. }\)

W tym przypadku równania można zapisać w postaci

\(\displaystyle{ t = \frac{1}{s\cdot k\sqrt{2g}} \int_{h}^{H} \frac{S(h)}{\sqrt{h}} dh,}\)

\(\displaystyle{ T = \frac{1}{s\cdot k\sqrt{2g}} \int_{0}^{H} \frac{S(h)}{\sqrt{h}} dh.}\)

Rozwiązanie

W naszym przypadku pole powierzchni przekroju poprzecznego walca \(\displaystyle{ S(h) }\) jest stałe i równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\pi\cdot D^2, \ \ D = 2R = 1, 8 \ \ m.}\)

Pole powierzchni otworu wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\pi \cdot d^2, \ \ d = 2r = 6 \ \ cm = 0,06 \ \ m.}\)

\(\displaystyle{ T = \frac{D^2}{d^2\cdot k \cdot\sqrt{2g}}\int_{0}^{H} \frac{dh}{\sqrt{h}} = \frac{2D^2\sqrt{H}}{d^2\cdot k \cdot \sqrt{2g}}}\)

Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy

\(\displaystyle{ T = \frac{(3,6)^2 (m^2)\sqrt{2,45 (m)}}{(0,06)^2(m^2) \cdot 0,6 \cdot \sqrt{2\cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right)}} = 2100 s = \frac{2100}{3600}h = \frac{7}{12}h = 35\ \ min. }\)

[a4karo]

Słyszałeś kiedyś o wedce i rybie?