Matematyka.pl

Witam, mam wątpliwości co do poprawności następującego rozwiązania. Czy ktoś mógłby powiedzieć mi czy to zadanie jest rozwiązanie poprawnie?
Czy \(\displaystyle{ f(x)= \tg x, x \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)}\) jest jednostajnie ciągła?
Moje rozwiązanie:
Biorę zaprzeczenie warunku Cauchy'ego jednostajnej ciągłości i sprawdzam czy dla każdej delty(z przedziału który podany jest poniżej) warunek jest spełniony.
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}- \frac{\delta}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{\pi}{2}- \delta }\)
\(\displaystyle{ \left| \tg x - \tg y\right|= \left| \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}\right| = \left| \frac{\sin x\cos y - \cos y \sin y}{\cos x\cos y}\right| = \left| \frac{\sin (x - y)}{\cos x \cos y}\right| }\)
teraz bierzemy \(\displaystyle{ \delta \in (0; \pi )}\)
i \(\displaystyle{ \left| \tg x - \tg y\right|= \frac{\sin\left( \frac{\pi}{2}- \frac{\delta}{2} -\frac{\pi}{2} + \delta\right)}{\cos\left( \frac{\pi}{2}- \frac{\delta}{2}\right) \cos\left( \frac{\pi}{2}- \delta\right)} =\frac{1}{\sin\delta} }\)
dla \(\displaystyle{ \delta \in (0; \pi )}\) jesteśmy w stanie wskazać \(\displaystyle{ \epsilon < \frac{1}{\sin\delta} }\)
zatem funkcja ta nie jest jednostajnie ciągła w badanym przedziale.

Zapisz jeszcze raz to zaprzeczenie. Ogólnie technika samego dowodu tak wygląda, że dochodzi się do twojego wyrażenia, ale nie tak się to chyba wykorzystuje.

Zaprzeczenie warunku:
\(\displaystyle{ \bigvee(\epsilon \ > \ 0)\bigwedge( \partial \ > \ 0)\bigvee(x,y \ \in D)(|x \ -
y| \ < \ \partial \ \wedge \ |f(x) \ - \ f(y)| \ge \epsilon)}\)
Ogólnie zamysł był taki, że z tego zaprzeczenia wynika zaprzeczenie tezy (teza brzmi, że funkcja jest jednostajnie ciągła)

p_wika pisze: 12 lis 2020, o 17:47dla \(\displaystyle{ \delta \in (0; \pi )}\) jesteśmy w stanie wskazać \(\displaystyle{ \epsilon < \frac{1}{\sin\delta} }\)

Ten fragment można by zapisać nieco jaśniej (a najlepiej: wskazać konkretny \(\displaystyle{ \varepsilon}\)), ale poza tym rozwiązanie jest poprawne.

Dasio11 pisze: 14 lis 2020, o 11:14

p_wika pisze: 12 lis 2020, o 17:47dla \(\displaystyle{ \delta \in (0; \pi )}\) jesteśmy w stanie wskazać \(\displaystyle{ \epsilon < \frac{1}{\sin\delta} }\)

Ten fragment można by zapisać nieco jaśniej (a najlepiej: wskazać konkretny \(\displaystyle{ \varepsilon}\)), ale poza tym rozwiązanie jest poprawne.

Dziękuję bardzo