Matematyka.pl

Dzień dobry, potrzebuję pomocy w zadaniu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{ \sqrt[n]{n!}}{ n} = e^{-1} }\). Próbowałem udowodnić to z lematu.

Jeżeli \(\displaystyle{ ( a_{n} ) _{n \in \NN} }\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich, takim że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } =a }\), to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ a_{n} } = a }\)

Jednak dochodzę do sprzeczności \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n + \frac{1}{n} = e }\).

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]n!}{n} = \sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}= \sqrt[n]{x_{n}}, }\)

gdzie

\(\displaystyle{ x_{n} = \frac{n!}{n^{n}} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{x_{n-1}} = ...}\)