Matematyka.pl

Dzień dobry,

stram się nadrobić niedostatki związane z teorią miary i całki stąd sięgnąłem po książkę "Podstawy analizy matematycznej" Waltera Rudina i tam budowa teorii miary rozpoczyna się od definicji \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścieni, jednak wszystkie materiały jakie widziałem przed oczami opierały się o definicję \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał bądź \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr... . Niestety mam niesamowity misz-masz co jest czym.

Czy mógłby ktoś mi odpowiedzieć : czy \(\displaystyle{ \sigma - }\)pierścień jest bardziej ogólnym pojęciem niż \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciało? I czy są sytuację np. rachunek prawdopodobieństwa gdzie \(\displaystyle{ \sigma - }\)pierścienie są zbyt ogólne i dlatego korzysta się z \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciał?

I drugie pytanie to takie : czy \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciało = \(\displaystyle{ \sigma - }\)algebra?

I może trzecie... czemu tak popularne (a może jest to tylko moje wrażenie) jest budowanie teorii miary od definicji \(\displaystyle{ \sigma - }\)ciała a nie \(\displaystyle{ \sigma - }\)pierścieni? Czy to pierwsze podejście ma jakieś większe zalety?

Dziękuje za odpowiedź/dyskusję.

1. Sigma-pierścień jest po prostu czymś innym niż sigma-ciało. Jak rozumiesz sformułowanie, że jeden obiekt matematyczny jest ogólniejszy niż inny obiekt? Jak dla mnie to ogólniejsze może być twierdzenie.

2. Tak, to to samo.

3. Zdecydowanie tak. Sigma-pierścień nie musi być zamknięty na dopełnienia, a na przykład w rachunku prawdopodobieństwa operowanie zdarzeniami przeciwnymi jest niemal nieodzowne.

Do pierwszego pytania pasowałoby określenie, że sigma-pierścień jest pojęciem szerszym niż sigma-ciało.