Matematyka.pl

Szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \min(a _{n} , b _{n})}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \max(a _{n} , b _{n} )}\) są zbieżne. Pokazać, że szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a _{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } b _{n}}\) są zbieżne.

Będę wdzięczny za podpowiedź.

Wykorzystaj warunek Cauchy'ego.

Nie mogę wpaść na to, jak wykorzystać tu Cauchy'ego. Próbowałem kryterium porównawczym, ale zostaje wtedy przypadek, gdy wyrazy są ujemne...

A jaką znasz wersję kryterium porównawczego? Ono też zadziała.

Uczono mnie, że kryterium porównawcze można stosować tylko do szeregów o wyrazach nieujemnych (przynajmniej od pewnego miejsca), a tego treść zadania niestety nie gwarantuje

Wiem, że odkopuję temat, ale może skorzystam na tym i ja, i ktoś czytający go w przyszłości.
Czy wystarczy wnioskować w ten sposób?

Mamy z definicji \(\displaystyle{ \min{\{a_n, b_n\}} \le a_n, b_n \le \max{\{a_n, b_n \}}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Niech \(\displaystyle{ N \in \mathbb{N}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \min{\{a_n, b_n\}} \le \sum_{n=1}^{N} a_n \le \sum_{n=1}^{N} \max{\{a_n, b_n \}}}\)
i analogicznie dla \(\displaystyle{ (b_n)}\). Jako, że oba szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \min{\{a_n, b_n \}}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \max{\{a_n, b_n \}}}\) są zbieżne, to z kryterium porównawczego wynika, że także \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) są zbieżne. To kończy dowód.

Na jaką wersję kryterium porównawczego się powołujesz?