Matematyka.pl

Opisz wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ m, n}\) takich, że
\(\displaystyle{ (1+i)^{n} \cdot (1-i \sqrt{3}) ^{m}=32 }\).

Próbowałem rozważać pary \(\displaystyle{ (1,32), (2,16), (4,8), (8,4), (16,2), (32,1)}\) i następnie korzystać z wzoru na potęgowanie liczb zespolonych. Niestety, nie potrafię doliczyć tego do końca, wychodzą dość skomplikowane równania i jest ich sporo. Może jest jakiś inny prostszy sposób? Będę wdzięczny za pomoc.

Przejdź na postać trygonometryczną lub wykładniczą, a dostaniesz układ:
\(\displaystyle{
\begin{cases} \frac{n}{2}+m=5 \\ n \cdot \frac{ \pi }{4}+m \cdot \frac{ - \pi }{3}=k2 \pi \end{cases} }\)

PS
Mi wychodzi, o ile poprawnie liczę, iż \(\displaystyle{ k}\) jest podzielne przez 5.

Jeszcze nie miałem postaci wykładniczej, co do postaci trygonometrczynej to wychodzi mi tak:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \cdot \sin\frac{\pi}{4} \right) \right)^n \cdot \left(2 \cdot \left(\cos\left(- \frac{\pi}{3} \right) + i \cdot \sin\left(- \frac{\pi}{3} \right)\right)\right)^m = 32 \\
(\sqrt{2})^n \cdot \left(\cos\left(n\cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(n\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot 2^{m} \cdot \left(\cos\left(m \cdot \frac{\pi}{3} \right)- i \cdot \sin \left(m \cdot \frac{\pi}{3} \right)\right) = 32 \\
2^{ \frac{1}{2}n+m} \cdot \left(\cos\left(n\cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(n\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \left(\cos\left(m \cdot \frac{\pi}{3} \right)- i \cdot \sin \left(m \cdot \frac{\pi}{3} \right)\right) = 32
}\)

Pomysły co dalej? Bo nie wiem, jak dojść do tego, co wyżej...

Dodano po 42 minutach 51 sekundach:
Doszedłem do tego, że bez względu na \(\displaystyle{ m,n }\) część z funkcją trygonometryczną z kąta np. \(\displaystyle{ n \cdot \alpha }\) z dokładnością do \(\displaystyle{ 2 \pi }\) osiągnie maksymalnie wartość 1, a część z liczbą zespoloną trzeba wyzerować, czyli jedyną opcją jest, żeby w takim razie \(\displaystyle{ 2 ^{ \frac{n}{2} + m} = 32 }\), sinusy wyzerowane, a \(\displaystyle{ \cos \alpha = \cos \beta = -1 \vee \cos \alpha = \cos \beta = 1 }\) i wtedy wychodzi mi tylko jedna para liczb \(\displaystyle{ n=4 \\ m=3 }\)
Pytanie, czy takie rozumowanie jest poprawne...

Asiasx pisze: 3 lis 2020, o 20:14 \(\displaystyle{ 2^{ \frac{1}{2}n+m} \cdot \left(\cos\left(n\cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(n\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \left(\cos\left(m \cdot \frac{\pi}{3} \right)- i \cdot \sin \left(m \cdot \frac{\pi}{3} \right)\right) = 32
}\)

\(\displaystyle{
2^{ \frac{1}{2}n+m} \cdot \left(\cos\left(n\cdot \frac{\pi}{4}-m \cdot \frac{\pi}{3} \right) + i \cdot \sin\left(n\cdot \frac{\pi}{4}-m \cdot \frac{\pi}{3} \right)\right) = 2^5(\cos k2 \pi +i \sin k2 \pi )
}\)
Dwie liczby zespolone są równe jeśli mają ten sam moduł i argument, a stąd układ równań który podałem w poprzednim poscie.

Asiasx pisze: 3 lis 2020, o 20:14 Doszedłem do tego, że bez względu na \(\displaystyle{ m,n }\) część z funkcją trygonometryczną z kąta np. \(\displaystyle{ n \cdot \alpha }\) z dokładnością do \(\displaystyle{ 2 \pi }\) osiągnie maksymalnie wartość 1, a część z liczbą zespoloną trzeba wyzerować, czyli jedyną opcją jest, żeby w takim razie \(\displaystyle{ 2 ^{ \frac{n}{2} + m} = 32 }\), sinusy wyzerowane, a \(\displaystyle{ \cos \alpha = \cos \beta = -1 \vee \cos \alpha = \cos \beta = 1 }\) i wtedy wychodzi mi tylko jedna para liczb \(\displaystyle{ n=4 \\ m=3 }\)
Pytanie, czy takie rozumowanie jest poprawne...

Trochę okrężnie, ale sens jest taki, iż podane rozwiązanie jest jedynym gdy \(\displaystyle{ k=0}\).

Jednak k może przyjąć dowolną wartość całkowitą, a stąd nieskończenie wiele rozwiązań o postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n=4+ \frac{24k}{5} \\ m=3- \frac{12k}{5} \end{cases} }\)
Rozwiązania będą parą liczb całkowitych dla każdej całkowitej k podzielnej przez 5.