Matematyka.pl

sport pisze: 2 lis 2020, o 10:20 Nie wiem jak postąpić tutaj z przedziałami \(\displaystyle{ x^2+y^2<1 \ i \ x^2+y^2 \ge 1 }\)

janusz47 pisze: 2 lis 2020, o 13:09 Jakie obiekty geometryczne opisane są powyższymi równaniami ?

matmatmm pisze: 2 lis 2020, o 12:42

Potrafisz uzasadnić, że ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ K}\) oraz w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ D}\) ?

No i oczywiście trzeba jeszcze sprawdzić ciągłość w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ S}\). W tym celu wybierzmy punkt \(\displaystyle{ z_0=(x_0,y_0)\in S}\). Oznaczając wyjściową funkcję przez \(\displaystyle{ f}\), wystarczy pokazać, że funkcje \(\displaystyle{ f|_{K\cup\{z_0\}}}\) oraz \(\displaystyle{ f|_{D\cup S}}\) są ciągłe w \(\displaystyle{ z_0}\).

janusz47 pisze: 2 lis 2020, o 13:45 Wnętrze otwarte koła jednostkowego i zewnętrze domknięte tego koła to dziedzina tej funkcji.

Jakie bryły (jakie powierzchnie ograniczające od góry i od dołu) opisane powyższymi równaniami określają funkcję \(\displaystyle{ f(x,y) ? }\)

Od tego należy zacząć, żeby określić zbiór wspólny punktów ciągłości tej funkcji.

matmatmm pisze: 2 lis 2020, o 14:11 Ja bym zaczął od uzasadnienia, że funkcje \(\displaystyle{ g,h:\RR^2\rightarrow \RR}\) o wzorach

\(\displaystyle{ g(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ h(x,y)=x^2+y^2-1}\)

są ciągłe, dlatego że są one elementarne. Można też dowodzić to bardziej szczegółowo, bo stwierdzenie "funkcje są elementarne" to taki trochę skrót myślowy.

Potem stwierdzamy, że funkcje \(\displaystyle{ g|_K}\) oraz \(\displaystyle{ h|_D}\) są ciągłe (dlaczego?) oraz \(\displaystyle{ f|_K=g|_K, f|_D=h|_D}\).

Teraz powiedzmy, że badamy ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ w_0\in K}\). Można powołać się na następujące twierdzenie:

Tw. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ T:X\rightarrow Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X,Y}\) to przestrzenie metryczne, oraz \(\displaystyle{ a_0\in A\subset X}\) są takie, że \(\displaystyle{ A}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ a_0}\), a ponadto \(\displaystyle{ T|_A}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ a_0}\). Wówczas \(\displaystyle{ T}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ a_0}\).

Mówiąc obrazowo, na ciągłość funkcji w punkcie wpływają tylko wartości tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

Ciągłość w punktach zbioru \(\displaystyle{ D}\) bada się zupełnie analogicznie, natomiast dla punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\) (dowodząc ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ z_0\in S}\)) bardzo podobnie jak poprzednio stwierdzamy, że wspomniane już wcześniej przeze mnie funkcje \(\displaystyle{ f|_{K\cup\{z_0\}}, f|_{D\cup S}}\) są ciągłe. A że jest to warunek dostateczny ciągłości całej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ z_0}\) można pokazać na różne sposoby (np. z definicji Cauchy'ego).

matmatmm pisze: 2 lis 2020, o 14:30 W mojej metodzie nie, aczkolwiek jest to możliwe.