Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu. Wykazać za pomocą indukcji matematycznej, n jest liczbą naturalną. \(\displaystyle{ 1^{3}+ 2^{3}+...+n ^{3}=\left( 1+2+...+ n \right)^{2} =\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} }\)

Baza indukcji: \(\displaystyle{ 1^{3}=\left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^{2}}\), zgadza się.
W kroku indukcyjnym: przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}}\). Mamy wtedy
\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}+(n+1)^{3}\\=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}\\=(n+1)^{2}\left(\frac{n^{2}}{4}+n+1\right)=(n+1)^{2}\cdot \frac{n^{2}+4n+4}{4}\\=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}\\=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2}}\)

Na czym polega dowód indukcyjny ?

Do: janusz47. Dowód indukcyjny opiera się na aksjomatyce liczb naturalnych. Mówiąc prościej, jeśli mamy udowodnić indukcyjnie np. że zachodzi jakaś równość (tak jak w tym zadaniu) dla wszystkich liczb naturalnych, musimy wykonać następujące kroki:
1) najłatwiejsza część, czyli wykazać, że zachodzi dla \(\displaystyle{ n=1}\) (podstawiamy jedynkę do obu wzorów i sprawdzamy czy lewa strona równa się prawej)
Jeśli tak, możemy przejść dalej:
2) najtrudniejsza do zrozumienia część: Mamy przyjąć założenie, że równość zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) i na podstawie tego udowodnić, że jest to prawdą dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Jaka stoi za tym intuicja:
Jeśli coś zachodzi dla \(\displaystyle{ 1}\) to zgodnie z zasadą \(\displaystyle{ n}\) "implikuje" \(\displaystyle{ n+1}\) równość zachodzi dla \(\displaystyle{ 2}\), a skoro dla \(\displaystyle{ 2}\) to i dla \(\displaystyle{ 3}\), a skoro dla \(\displaystyle{ 3}\) , to i dla \(\displaystyle{ 4}\) itd. aż dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych.

Widzisz, Continuum, ja myślę, że janusz47 świetnie wie, na czym polega dowód indukcyjny, a jego pytanie było skierowane do Dzbanazmatmy.

Ty natomiast w swoim wytłumaczeniu zapomniałeś o kluczowej rzeczy - zapomniałeś wytłumaczyć, że te kroki to tylko sprawdzenie założeń Zasady indukcji matematycznej, których spełnienie pozwala na jej zastosowanie.

JK