Matematyka.pl

Korzystając z twierdzenia o podciągach wykazać rozbieżność ciągu o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{n + 2 ^{(-1) ^{n} \cdot n } } }\)
pomoże ktoś?

Rozważ podciągi \(\displaystyle{ a_{2n}, \ a_{2n+1}}\).
Przy rozważaniach przyda się twierdzenie o trzech ciągach i znana granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1}\).

dlaczego akurat te podciągi ?

W zasadzie trudno powiedzieć, z doświadczenia się to bierze. No ogólnie \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) jest równe albo \(\displaystyle{ 1}\), albo \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ (-1)^{n}=1}\) i dla dużych \(\displaystyle{ n}\) pod pierwiastkiem dominuje \(\displaystyle{ 2^{n}}\), a jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ (-1)^{n}=-1}\) i pod pierwiastkiem dominuje \(\displaystyle{ n}\).

Nie zawsze można sobie rozpisać wyrazy (zawsze napisanie kilku, kilkunastu może się przydać, jeśli są w miarę proste), a na kolosie nie narysujesz sobie w programie graficznym raczej. Wydaje mi się, że warto po prostu przejrzeć i zrozumieć dużo rozwiązanych przykładów, a później samemu rozwiązywać analogiczne zadania (tylko lepiej, żeby ktoś to sprawdzał, czy to na forum, czy lepszy kolega, czy korepetytor/ćwiczeniowiec). Na przykład w tym wątku jest dużo rozwiązanych zadań: Przykłady obliczania granic ciągów

Dzięki za pomoc