Matematyka.pl

Witam mam do policzenia następującą granicę ciągu na liczbę e.
\(\displaystyle{ \lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{x^2-2x}{\:x^2+x-2}\right)^{3-3x}}\)

Gdy wyliczam to dochodze do momentu takiego:
\(\displaystyle{ \lim _{x\to \infty \:}\left[\left(1+\frac{-3x+2}{x^2+x-2}\right)^{x^2+x-2}\right]^{\frac{3-3x}{x^2+x-2}}
}\)
I problem jest jaki że w liczniku jest '\(\displaystyle{ n}\)' i jak się go pozbyć i poprawnie wyliczyć \(\displaystyle{ e}\)?
Prosiłbym o szczegółowe wyjaśnienie

Ja bym to rozpisał trochę inaczej:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+x-2}\right)^{3-3x}=\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2x}\right)^{3x-3}\\=\lim_{x\to \infty}\left(\left(1+\frac{3x-2}{x^{2}-2x}\right)^{\frac{x^{2}-2x}{3x-2}}\right)^{\frac{(3x-2)(3x-3)}{x^{2}-2x}}}\)

Teraz jeśli miałeś na zajęciach taki fakt:
Gdy \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}f(x)=0, \ \lim_{x\to \infty}g(x)=+\infty, \ \lim_{x\to \infty}f(x)g(x)=a, \ a\in \RR}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}(1+f(x))^{g(x)}=e^{a}}\),
to wystarczy zeń skorzystać.

Jeśli natomiast nic takiego się nie pojawiło, to też można sobie bez problemu poradzić, w zasadzie to udowadniając:
zacznijmy od tego, że gdy \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}f(x)=0}\) i \(\displaystyle{ f(x)\neq 0}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left(1+f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e}\)
W tym konkretnym przypadku oczywiście \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x-2}{x^{2}-2x}}\). Jak znasz taką granicę
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e}\), to nie powinno Cię to zdziwić. Jak nie znasz, to należy poznać, np. jest taki samotny wątek:
Liczba e - granica ciągu czy funkcji?