Strona 1 z 1
Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 24 paź 2020, o 19:15
autor: dinx
Niestety nie wiem jak się za to zabrać. Podejrzewam, że coś na wektorach.
1) Udowodnić, że wysokości opuszczone na ściany czworościanu foremnego przecinają się dokładnie w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ 3:1}\).
2) Podać za pomocą \(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 24 paź 2020, o 21:44
autor: Jan Kraszewski
dinx pisze: ↑24 paź 2020, o 19:152) Podać za pomocą
\(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.
A co to znaczy?
JK
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 24 paź 2020, o 22:10
autor: JHN
dinx pisze: ↑24 paź 2020, o 19:15
1) Udowodnić, że wysokości opuszczone na ściany czworościanu foremnego przecinają się dokładnie w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku
\(\displaystyle{ 3:1}\).
Uruchom wyobraźnię, ...
Czworościan foremny ma cztery osie obrotów własnych, zawierają one wysokości (długości
\(\displaystyle{ H}\)) czworościanu. Przycinają się one we wspólnym środku kul: opisanej na czworościanie i wpisanej (o promieniu
\(\displaystyle{ r}\)) w niego.
Czworościan foremny można rozciąć na cztery przystające ostrosłupy prawidłowe o wspólnym wierzchołku, zatem
\(\displaystyle{ 4\cdot{1\over3}\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot r={1\over3}\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot H}\)
czyli
\(\displaystyle{ r={1\over4}H}\)
co jest równoważne tezie
Pozdrawiam
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 25 paź 2020, o 22:25
autor: matmatmm
JHN pisze: ↑24 paź 2020, o 22:10
Uruchom wyobraźnię, ...
Czworościan foremny ma cztery osie obrotów własnych, zawierają one wysokości (długości
\(\displaystyle{ H}\)) czworościanu. Przycinają się one we wspólnym środku kul: opisanej na czworościanie i wpisanej (o promieniu
\(\displaystyle{ r}\)) w niego.
Dla mnie wcale nie jest to dowód, że przecinają się w jednym punkcie. Ja bym robił tak:
Najpierw pokazujemy, że spodek każdej wysokości czworościanu leży w ortocentrum podstawy. Później pokazujemy, że biorąc dowolne dwie wysokości czworościanu są one zawarte w jednej płaszczyźnie - dokładnie w płaszczyźnie wyznaczonej przez wysokości ścian bocznych. Wreszcie już w tym pokazujemy, że te wysokości czworościanu przecinają się w odpowiedniej proporcji - można to zrobić wykorzystując tw. Pitagorasa. Stąd wynika, że wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 11:03
autor: dinx
Jan Kraszewski pisze: ↑24 paź 2020, o 21:44
dinx pisze: ↑24 paź 2020, o 19:152) Podać za pomocą
\(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.
A co to znaczy?
JK
ABC to wierzchołki trójkąta.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 12:42
autor: Jan Kraszewski
Ale to polecenie nie ma sensu. Co to znaczy "Podać za pomocą wierzchołków trójkąta wysokości trójkąta"? Pomijając już kwestię, że w tym zadaniu badasz czworościan, a nie trójkąt.
JK
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 16:47
autor: dinx
Jan Kraszewski pisze: ↑26 paź 2020, o 12:42
Ale to polecenie nie ma sensu. Co to znaczy "Podać za pomocą wierzchołków trójkąta wysokości trójkąta"? Pomijając już kwestię, że w tym zadaniu badasz czworościan, a nie trójkąt.
JK
To są dwa osobne polecenia.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 16:54
autor: Jan Kraszewski
Co nie zmienia faktu, ze polecenie nie ma sensu.
JK
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 17:01
autor: dinx
Niestety, nie mam na to wpływu
Z zadań na zajęciach podejrzewam, że to zadanie trzeba wykonać na wektorach.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 17:12
autor: Jan Kraszewski
A możesz wytłumaczyć, co według Ciebie to zadanie oznacza? Bo trudno oczekiwać, że ktoś pomoże Ci w rozwiązaniu zadania, którego sformułowanie nie ma sensu.
JK
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 18:10
autor: dinx
Jan Kraszewski pisze: ↑26 paź 2020, o 17:12
A możesz wytłumaczyć, co według Ciebie to zadanie oznacza? Bo trudno oczekiwać, że ktoś pomoże Ci w rozwiązaniu zadania, którego sformułowanie nie ma sensu.
JK
Na zajęciach udowadnialiśmy twierdzenie o środkowych w trójkącie. Przy oznaczeniach
\(\displaystyle{ ABC}\) jako wierzchołki trójkąta,
\(\displaystyle{ A_1}\) jest punktem na
\(\displaystyle{ |BC|}\), a więc
\(\displaystyle{ A_1=\frac12 B+\frac12 C}\). Następnie określiliśmy
\(\displaystyle{ S=\frac13A+\frac23A_1}\), więc
\(\displaystyle{ S=\frac13A+\frac13B+\frac13C}\).
Nie do końca rozumiem ten zapis. Następnie udowadnialiśmy, że czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy środki przekątnych pokrywają się, a później środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Później mieliśmy iloczyn skalarny i do domu były te polecenia. Nie umiem Ci tego wyjaśnić inaczej. Może ten jeden przykład Ci coś rozjaśni.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 18:23
autor: matmatmm
No to na zajęciach mieliście
\(\displaystyle{ A,B,C}\) jako współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie współrzędnych. W zadaniu
dinx pisze: ↑24 paź 2020, o 19:15
2) Podać za pomocą
\(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.
być może chodzi o wyznaczenie długości wysokości trójkąta w zależności od współrzędnych wierzchołków.
Re: Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie
: 26 paź 2020, o 18:26
autor: dinx
matmatmm pisze: ↑26 paź 2020, o 18:23
No to na zajęciach mieliście
\(\displaystyle{ A,B,C}\) jako współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie współrzędnych. W zadaniu
dinx pisze: ↑24 paź 2020, o 19:15
2) Podać za pomocą
\(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.
być może chodzi o wyznaczenie długości wysokości trójkąta w zależności od współrzędnych wierzchołków.
Tak, możliwe, że o to chodzi.