Matematyka.pl

Witam, przepraszam jeśli w złym temacie. Nie rozumiem pewnego przekształcenia, które pojawiło się w pewnej książce. Spędziłem kilka godzin próbując to rozwikłać ale na marne. Mianowicie:

\(\displaystyle{ ... = e^{ \frac{w^2}{2} } \int_{- \infty }^{w}\left( \int_{- \infty }^{x} h'(t)\Phi(t)dt - \int_{x}^{\infty}h'(t)(1-\Phi(t))dt \right)e ^{- \frac{x^2}{2} } dx = \\ = -\sqrt{2\pi}e^{ \frac{w^2}{2} }(1-\Phi(w)) \int_{- \infty }^{w}h'(t)\Phi(t)dt -\sqrt{2\pi}e^{ \frac{w^2}{2} }\Phi(w) \int_{w }^{ \infty }h'(t)(1-\Phi(t))dt = ... }\)

Funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest mierzalna o wartościach rzeczywistych. \(\displaystyle{ \Phi(t)}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego. Domyślam się, że chodzi o tw. Fubiniego, oraz fakt, że

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{w} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ -\frac{x^2}{2} }dx = \Phi(w) }\).

Być może jest w tym przekształceniu błąd, albo czegoś nie widzę. Mało ćwiczyliśmy tw. Fubiniego więc może mi brakować wiedzy. Bardzo proszę o wyjaśnienie skąd bierze się takie przejście.

Udało mi się to trochę przekształcić. Otrzymałem prawie żądaną postać, ale pewnie jest tu masa błędów. Tak czy inaczej mam nadzieję, że załapiesz zasadę, skąd się wzięło to przekształcenie. Przy okazji dopytam jeszcze, czy są może jakieś dodatkowe założenia o \(\displaystyle{ h}\)?

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^xh'(t)\phi(t)\dd t-\int_{x}^{\infty}h'(t)(1-\phi(t))\dd t= \int_{-\infty}^xh'(t)\phi(t)\dd t- \int_x^{\infty}h'(t)\dd t+\int_x^{\infty}h'(t)\phi(t)\dd t =\int_{\RR}h'(t)\phi(t)\dd t-\int_x^{\infty}h'(t)\dd t}\)


\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^w\left(\int_{\RR}h'(t)\phi(t)\dd t \right) e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x=\int_{\RR}\int_{\RR}h'(t)\phi(t)e^{-\frac{x^2}{2}}\mathcal{X}_{(-\infty,w)}(x)\dd t \dd x=\int_{\RR}\left(\int_{\RR} h'(t)\phi(t)\dd t\right) e^{-\frac{x^2}{2}}\mathcal{X}_{(-\infty,w)}(x) \dd x=}\)
\(\displaystyle{ =\int_{\RR} h'(t)\phi(t)\dd t\int_{-\infty}^we^{-\frac{x^2}{2}}\dd x=\sqrt{2\pi}\phi(w)\int_{\RR}h'(t)\phi(t)\dd t=\sqrt{2\pi}\phi(w)\left( \int_{-\infty}^wh'(t)\phi(t)\dd t + \int_w^{\infty}h'(t)\phi(t)\dd t \right) }\)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{w}\left( \int_x^{\infty}h'(t)\dd t\right)e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x =\int_{\RR}\int_{\RR}h'(t)e^{-\frac{x^2}{2}}\mathcal{X}_{[x,\infty)}(t)\mathcal{X}_{(-\infty,x)}(w)\dd t \dd x=\int_{\RR}\left( \int_{-\infty}^{w}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathcal{X}_{[x,\infty)}(t)\dd x\right)h'(t) \dd t =}\)
\(\displaystyle{ =\int_{\RR} \sqrt{2\pi}(\phi(w)-\phi(t))\mathcal{X}_{(-\infty,w)}(t)h'(t)\dd t =\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^w(\phi(w)-\phi(t)) h'(t)\dd t =\sqrt{2\pi}\phi(w)\int_{-\infty}^wh'(t)\dd t -\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^w h'(t)\phi(t)\dd t}\)


\(\displaystyle{ e^{-\frac{w^2}{2}}\int_{-\infty}^w\left( \int_{\infty}^x h'(t)\phi(t)\dd t - \int_{-\infty}^x h'(t)(1-\phi(t))\dd t\right)e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x=e^{-\frac{w^2}{2}}\left( \int_{-\infty}^w\left(\int_{\RR}h'(t)\phi(t)\dd t \right) e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x- \int_{-\infty}^{w}\left( \int_x^{\infty}h'(t)\dd t\right)e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x \right)=}\)
\(\displaystyle{ =e^{-\frac{w^2}{2}}\left(\sqrt{2\pi}\phi(w) \int_{-\infty}^wh'(t)\phi(t)\dd t +\sqrt{2\pi}\phi(w) \int_w^{\infty}h'(t)\phi(t)\dd t-\sqrt{2\pi}\phi(w)\int_{-\infty}^wh'(t)\dd t +\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^w h'(t)\phi(t)\dd t\right)}\)

Bardzo dziękuję! Udało mi się w końcu dokładnie to rozpisać i dojść do końcowej postaci! Musiałem trochę zmodyfikować Twoje przekształcenia, które jednak bardzo mi pomogły Mianowicie

\(\displaystyle{ \int_{\RR}\left( \int_{- \infty }^{w} e^{- \frac{x^2}{2} } \mathcal{X}_{[x, \infty)}(t) dx \right) h'(t) dt = \int_{- \infty }^{w} h'(t) \left( \int_{- \infty }^{t}e^{- \frac{x^2}{2} }dx \right)dt + \int_{w}^{ \infty } h'(t) \left( \int_{- \infty }^{w} e^{- \frac{x^2}{2} }dx \right) dt }\)

i dalej poszło

A co do założeń, przepraszam, zapomniałem jeszcze dodać, że \(\displaystyle{ h}\) jest absolutnie ciągła. Czy to coś zmienia?

Teraz widzę, że moje przekształcenie tego fragmentu było niepoprawne (Ty masz dobrze). A o założenia dla \(\displaystyle{ h}\) pytałem dlatego, że potrzebne jest jakieś założenie, które zapewnia, że funkcja \(\displaystyle{ h'}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ \RR}\). Z tego zdaje się wynika już całkowalność wszystkich funkcji podcałkowych występujących w tych wyrażeniach.

Rozumiem, dziękuję