Matematyka.pl

Dzień dobry

Proszę o pomoc z zadaniem, bo średnio mi idzie rozumienie prawdopodobieństwa i kombinatoryki.

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których występują tylko cyfry \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 9}\)? Według odpowiedzi muszą one wszystkie wystąpić, bo inaczej wychodziłoby \(\displaystyle{ 81}\) a nie \(\displaystyle{ 36}\).

Ale dlaczego wychodzi \(\displaystyle{ 36}\) a nie \(\displaystyle{ 18}\)? Z reguły mnożenia to moim zdaniem wygląda to tak:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
Gdzie źle myślę?

Czy dobrze rozumiem, że \(\displaystyle{ 3\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}\) oznacza, że na pierwszym miejscu masz \(\displaystyle{ 3}\) opcje, na drugim tez \(\displaystyle{ 3}\), na trzecim \(\displaystyle{ 2}\) i ostatnia cyfra jest ustalona, tak?

Jeśli tak, to dlaczego? Co jeśli na pierwszym miejscu będzie stała \(\displaystyle{ 5}\) a na drugim \(\displaystyle{ 9}\), czemu wówczas na trzecim miejscu mamy tylko \(\displaystyle{ 2}\) opcje?
Podobnie dla liczby \(\displaystyle{ 597X}\), na czwartym miejscu mamy pełną dowolność.

Powiem ci to tak, jest to ilość suriekcji zbioru czteroelementowego na zbiór liczb trzyelementowy, a więc masz wzór:

\(\displaystyle{ S(n,k)=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i} {k \choose i}i^n }\)


a tu ten wzór stosujesz dla:

\(\displaystyle{ n=4, k=3}\)

\(\displaystyle{ S(4,3)= \sum_{i=1}^{3}(-1)^{3-i} {3 \choose i}i^4=36 }\)

I zawsze wszystkie cyfry w liczbie będą użyte...

Z reguły mnożenia to moim zdaniem wygląda to tak:

Niestety tu reguła mnożenia się nie przyda tylko zasada włączania i wyłączania...

W ten sposób co liczyliście powyżej to nie zadziała bo pewne układy będą się powtarzać, wzór , który napisałem bazuje na zasadzie włączania i wyłączania , niestety Niepokonana bez znajomości tej reguły dalsza nauka kombinatoryki nie ma sensu, jest to jedna z najważniejszych zasad w kombinatoryce...

Dodano po 38 minutach 35 sekundach:
Jeszcze tylko ubiegnę pytanie Niepokonanej, które zapewne się tu pojawi, a ja postaram się na nie odpowiedzieć.

Otóż pytanie:

N: "Czy nie dałoby się zrobić to prościej na poziomie liceum?"

A: Odp.: Dałoby się

N:Jak?

A: A tak:

A: \(\displaystyle{ 4 \cdot 3 \cdot 3=36}\)

N: A czemu tak?

A: Ponieważ znając odpowiedź zawsze mogę tak dobrać liczby, żeby po np. wymnożeniu dały oczekiwany wynik...

Dodano po 40 sekundach:
Chyba temat wyczerpany...

Myślę, że temat nie jest wyczerpany, bo nie padło jeszcze elementarne rozwiązanie, które istnieje. Poza tym, z tego co wiem, w liceum nie ma zasady włączeń i wyłączeń, która tutaj jest zbędna.

Też najpierw chciałem pisać o ,,wyczerpaniu" - ale już się pojawiło.

Jedna z cyfr pojawia się dwa razy, pozostałe dwie po raz.
Wybierając dwa miejsca z czterech zrobimy to na sześć sposobów, z cztery nad dwa (albo na palcach).
Podwójną cyfrę wybieramy na trzy sposoby (bo mamy trzy cyfry do wyboru).
A w przypadku wybranej cyfry podwójnej i ich (tych dwóch jednakowych cyfr) konkretnego położenia w liczbie mamy dwie możliwości.

Obrazowo :
\(\displaystyle{ 5579}\) dwie piątki możesz ustawić na sześć sposobów (nie biorę pod uwagę ustawiania pozostałych cyfr)
tak samo będzie z dwoma siódemkami, potem z dwoma dziewiątkami.

Przy wybranym ustawieniu piątek masz dwie wersje np. \(\displaystyle{ 5579}\) oraz \(\displaystyle{ 5597}\).

Też najpierw chciałem pisać o ,,wyczerpaniu"

Wyczerpać się może ale cierpliwość , jak chcecie bardzo to można i tak:

(*) \(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{4!}{2!} =36}\)

Bierzemy trzy razy:

\(\displaystyle{ \left\{5,5,7,9 \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{5,7,7,9 \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{5,7,9,9 \right\}}\)

Do każdego z tych układów stosujemy permutacje z powtórzeniem jak w (*) i na tym temat może się wyczerpać...

Raczej permutacje z powtórzeniami mieli w szkółce...

Poza tym, z tego co wiem, w liceum nie ma zasady włączeń i wyłączeń, która tutaj jest zbędna.

Ale ja jej tu nie stosowałem tylko o niej nadmieniałem jak na powyższym widać raczej stosowałem suriekcje...

Dodano po 13 minutach 49 sekundach:

Obrazowo :
5579
dwie piątki możesz ustawić na sześć sposobów (nie biorę pod uwagę ustawiania pozostałych cyfr)
tak samo będzie z dwoma siódemkami, potem z dwoma dziewiątkami.

Jeżeli mielibyśmy tutaj nie cztery a np. 9 cyfr w tym ze dwie grupy powtarzających się to z tych "obrazów obrazowych" wyjdzie impresjonizm lub nawet ekspresjonizm lub nawet inna sztuka nowoczesna...

Dziewczyna polegnie przy ciut dłuższym a podobnym przykładzie...

Oficjalnie permutacji z powtórzeniami nie ma.

,,Jeśli mielibyśmy" ale nie mamy - jaki jest problem każdy widzi.

arek1357 pisze: 22 paź 2020, o 00:45

Poza tym, z tego co wiem, w liceum nie ma zasady włączeń i wyłączeń, która tutaj jest zbędna.

Ale ja jej tu nie stosowałem tylko o niej nadmieniałem jak na powyższym widać raczej stosowałem suriekcje...

Wzór, który podałeś, jak pewnie wiesz, wynika z zasady włączeń i wyłączeń (pewnie są jakies inne uzasadnienia, ale to jest najprostsze, jakie znam). Gdyby autorka chciała wiedzieć skąd podany wzór się wziął, zamiast bezmyślnie do niego podstawiać, pewnie musiałaby zasadę włączeń i wyłączeń poznać.

arek1357 pisze: 22 paź 2020, o 00:45 Dziewczyna polegnie przy ciut dłuższym a podobnym przykładzie...

Nie polegnie, bo w liceum nie pojawi się dłuższy przykład (tzn. pytanie o ilość surjekcji \(\displaystyle{ f : A \to B}\), gdzie \(\displaystyle{ |A| - |B| \ge 2}\)).

Ja mam inny sposób, ale wynik wychodzi zły i zastanawiam się gdzie mam błąd:
Wpierw jako, że potrzebne są wszystkie 3 cyfry to znajdźmy wszystkie liczby 3-cyfrowe, które je zawierają. Wystarczy użyć silnej:
\(\displaystyle{ 3!=6}\)
Następnie trzeba dodać jedną z liczb, więc:
\(\displaystyle{ 6 \cdot 3=18}\)
Na koniec trzeba znaleźć miejsce tej liczby. Są teoretycznie 4 miejsca, ale z racji, że w dwóch wypadkach będzie ona wyglądać tak samo (np. \(\displaystyle{ a a_{1}bc= a_{1}abc }\)) to wystarczy wziąć pod uwagę trzy przypadki:
\(\displaystyle{ 18 \cdot 3=54}\)
Nie wiem czy nie zauważyłem jakiegoś błędu albo cała ta metoda jest błędna, ponieważ wychodzi zły wynik.

ta metoda jest błędna, ponieważ wychodzi zły wynik.

Dokładnie tak...!

Ja panów przepraszam, ja celowo chciałam sprowokować dyskusję, bo nie rozumiem za bardzo tego prawdopodobieństwa, ale nie siedzę na forum i nie podtrzymałam dyskusji. Zrobiłam tak jak Tmmk pokazał. I proszę o podpowiedzi na poziomie liceum, tak jak Areczek słusznie zauważył, zaraz po tym jak napisał parę postów na poziomie studiów.

Niepokonana, jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie, to widzisz problem, prawda? Łatwo znajdziesz liczby, których nie zliczasz tym spososem.

Poprawne i proste rozwiązanie zaproponował piasek101. Najważniejsza rzecz, jaka jest tu do zauważania to to, że jedna cyfra musi wystąpić dwa razy, a pozostałe dwie jeden raz.

Tomzizek pisze: 23 paź 2020, o 18:33 Nie wiem czy nie zauważyłem jakiegoś błędu albo cała ta metoda jest błędna, ponieważ wychodzi zły wynik.

1. Wybierasz bazowo 579 i potem dodajesz drugą siódemkę na końcu - otrzymujesz 5797.
2. Wybierasz bazowo 597 i potem dodajesz drugą siódemkę po piątce - otrzymujesz 5797.

Chodzi o to, że ja znam wzory i nie umiem ich dopasować do zadania. Ja nie jestem przekonana.