Ciekawe zagadnienie.
Specyficzna postać liczby ma związek z zastosowanym systemem liczbowym. Nie powinno to mieć wpływu na samo pierwszeństwo liczby.
Sprawdziłem dla spokoju ducha parę liczb w postaci
\(\displaystyle{ 10^i+3}\).
Dla tych liczb wynik jest nieco odmienny.
Liczby
\(\displaystyle{ 10^1+3}\),
\(\displaystyle{ 10^2+3}\),
\(\displaystyle{ 10^5+3}\),
\(\displaystyle{ 10^6+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{11}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{17}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{18}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{39}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{56}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{101}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{105}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{107}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{123}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{413}+3}\),
\(\displaystyle{ 10^{426}+3}\)
są pierwsze a dalej posucha.
Parę liczb w postaci
\(\displaystyle{ 10^i+7}\).
\(\displaystyle{ 10^1+7}\),
\(\displaystyle{ 10^2+7}\),
\(\displaystyle{ 10^4+7}\),
\(\displaystyle{ 10^8+7}\),
\(\displaystyle{ 10^9+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{24}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{60}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{110}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{134}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{222}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{412}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{700}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{999}+7}\),
\(\displaystyle{ 10^{1383}+7}\)
są pierwsze.
Parę liczb w postaci
\(\displaystyle{ 10^i+9}\).
\(\displaystyle{ 10^1+9}\),
\(\displaystyle{ 10^2+9}\),
\(\displaystyle{ 10^3+9}\),
\(\displaystyle{ 10^4+9}\),
\(\displaystyle{ 10^9+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{18}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{22}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{45}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{49}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{56}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{69}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{146}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{202}+9}\),
\(\displaystyle{ 10^{272}+9}\),
W porównaniu do postaci
\(\displaystyle{ 10^i+1}\) wygląda to odmiennie.
Dodano po 22 godzinach 22 minutach 54 sekundach:
Odnośnie podzielności liczby w postaci
\(\displaystyle{ 10^i+1}\) przez
\(\displaystyle{ 43}\) To na chwilę obecną wszystkie liczby do
\(\displaystyle{ 10^{146000}+1}\) nie są podzielne przez
\(\displaystyle{ 43}\). Jeszcze trochę poczekam przed zatrzymaniem programu.
Dodano po 8 godzinach 10 minutach 19 sekundach:
Znalazłem pewną prawidłowość stąd...
Takie zapytanie to tematu powyższego.
Dla liczb naturalnych
\(\displaystyle{ x,y, k}\) gdzie
\(\displaystyle{ x \ge 1}\),
\(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Da się przedstawić od pewnej określonej (nie wiem jakiej) wartości
\(\displaystyle{ y}\) dowolna liczbę
\(\displaystyle{ y(x,k)=3x+2kx}\).
Można to jakoś wykazać?
Prawidłowość jest następująca.
\(\displaystyle{ f(x)=10^x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x)\mid {f(3x+k2x)}}\) gdzie
\(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Dodano po 31 minutach 42 sekundach:
Zapiszę to inaczej
\(\displaystyle{ {10^i+1}\mid {10^{i(3+2k)}+1}}\) gdzie
\(\displaystyle{ k \in N}\) oraz
\(\displaystyle{ k \ge 0}\)
przykładowo
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {1000000000000001}}\)
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera