Matematyka.pl

Witam

Wykaż wskaźnik uwarunkowania dla \(\displaystyle{ w(a,b)=a^2 + b^2.}\)

To jest to co mam na razie:

\(\displaystyle{ w\left(a+b\right)=a^2+b^2}\)

\(\displaystyle{ \alpha =a\left(1+E_1\right),\:\beta \:=b\left(1+E_2\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=\frac{\left|a^2\left(2E_1+E_1^2\right)+b^2\left(2E_2+E_2^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|} }\)

Niech \(\displaystyle{ E\::=max\left(E_1,\:E_2\right)}\), wtedy:

\(\displaystyle{ \le \frac{\left|a^2\left(2E+E^2\right)+b^2\left(2E+E^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=2E+E^2}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|} \le 2E+E^2}\)

Dla \(\displaystyle{ E\::=max\left(E_1,\:E_2\right)}\)

Jednak nie wiem jak dalej liczyć gdybym chciał dostać \(\displaystyle{ cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)

Wiem że definicja wskaźnika uwarunkowania jest:

\(\displaystyle{ \frac{\left|\phi \left(d+\Delta d\right)-\phi \left(d\right)\right|}{\left|\phi \left(d\right)\right|}\le cond\left(\phi ,\:d\right)\:\frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|}}\)

Jednak dostałem zupełnie niezależne od "d" (tutaj a i b) cond.

I jak miałoby \(\displaystyle{ \frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|} }\) tutaj w tym przykładzie wyglądać?

\(\displaystyle{ w: \RR^2 \rightarrow \RR, \ \ w(a,b) = a^2 +b^2. }\)

Względny wskaźnik uwarunkowania

\(\displaystyle{ cond(a,b)_{w} = \kappa_{w} = \frac{\parallel Df(a,b) \parallel_{\infty} \cdot \parallel a, b\parallel^{T}_{\infty}}{|w(a, b)|}}\)

\(\displaystyle{ \kappa_{w} = \frac{(2|a| + 2|b|) \max [|a|, |b| ]}{\sqrt{a^4 +b^4}} = \begin{cases} \frac{2(|a| +|b| )|a |}{\sqrt{a^4+b^4}} \ \ \mbox{gdy} \ \ |a| > |b| \\ \frac{2(|a| + |b| )|b|}{\sqrt{a^4 + b^4}} \ \ \mbox{gdy} \ \ |b| >|a| \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \kappa_{w}\geq 2 }\) -zadanie obliczania sumy kwadratów dwóch liczb algorytmem podnoszenia do kwadratu i dodawania jest zadaniem numerycznym źle uwarunkowanym.

Literatura

J.H Wilkinson. ROUNDING ERRORS IN ALGEBRAIC PROCESSES. Dover Publications; Reprint Polish Edition (7 czerwca 1994)

Okay, poprawiłem trochę rachunki i na razie mam tyle:

\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(2E_a+E_a^2\right)+b^2\left(2E_b+E_b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)

Użyłem normę euklidesową (na to co odpowiada ilorazowi \(\displaystyle{ \frac{\left|\Delta d\right|}{\left|d\right|}}\) w definicji) i dałem to na drugą stronę.

Wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2E_a^2+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le \frac{\left|a^22E_a+a^2E_a^2+b^22E_b+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|a^2E_a^2+b^2E_b^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2E_a^2+b^2E_b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}\le cond\left(w,\:a,\:b\right)}\)

Tylko co dalej? Muszę znaleźć jakąś zależność tak żeby móc coś znaleźć mniejszego/równego od licznika (co ale nie będzie zawierało żadnego błędu względnego)

Dodano po 1 godzinie 26 minutach 34 sekundach:
Re: Wykaż wskaźnik uwarunkowania dla w(a,b)=a^2 + b^2
Mam jeszcze kolejny pomysł:

\(\displaystyle{ w\left(a+b\right)=a^2+b^2}\)

\(\displaystyle{ \alpha =a\left(1+E_1\right),\:\beta \:=b\left(1+E_2\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|w\left(\alpha ,\beta \right)-w\left(a,b\right)\right|}{\left|w\left(a,b\right)\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\le \frac{\left|a^2\left(1+E_1\right)^2+b^2\left(1+E_2\right)^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|}=\frac{\left|a^2\left(1+2E_1+E_1^2\right)+b^2\left(1+2E_2+E_2^2\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)

Niech \(\displaystyle{ E_a=2E_1+E_1^2}\) i \(\displaystyle{ E_b=2E_2+E_2^2}\) wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(1+E_a\right)+b^2\left(1+E_b\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)

Niech \(\displaystyle{ c\::=max\left\{a^2,\:b^2\right\} , E\::=max\left\{E_a,\:E_b\right\}}\) wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{\left|a^2\left(1+E_a\right)+b^2\left(1+E_b\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}\le \frac{\left|2c\left(1+E\right)\right|}{\left|a^2+b^2\right|}}\)

Ale co mam dalej zrobić, by mieć \(\displaystyle{ \le }\) coś tam z (a, b) * \(\displaystyle{ 2^{-t}}\)?