Strona 1 z 1
Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 00:44
autor: JulWoj123
Proszę o pomoc z zadaniem:
Deszcz pada pionowo z prędkością
\(\displaystyle{ 𝑣_𝑑 = 20 \,\frac{𝑚}{𝑠}}\) w ilości
\(\displaystyle{ 𝑈=100\,\frac{ 𝑚𝑙}{ 𝑚^2\cdot 𝑚𝑖𝑛}}\). Szyba samochodu nachylona jest do pionu pod kątem
\(\displaystyle{ 𝛼=30^\circ}\).
(a) Pod jakim kątem
\(\displaystyle{ \alpha}\) w stosunku do pionu pada na szybę samochodu jadącego po prostej drodze z prędkością
\(\displaystyle{ 𝑣_𝑠 = 50 \,\frac{𝑘𝑚}{ℎ}}\) ? (
(b) Jaka ilość deszczu spada wtedy w ciągu minuty na przednią szybę samochodu (w przeliczeniu na jednostkę powierzchni)?
Nie potrafię wyobrazić sobie tego deszczu spadającego pod jakimkolwiek kątem
Re: Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 02:31
autor: matmatmm
Odnośnie punktu a):
Wybierzmy pewną kroplę deszczu, która spadnie na szybę samochodu i rozważmy płaszczyznę wyznaczoną przez tory ruchu samochodu i tej kropli. Niech \(\displaystyle{ \vec{r}_k(t), \vec{r}_s(t)}\) oznaczają odpowiednio wektory położenia kropli deszczu i samochodu w chwili \(\displaystyle{ t}\) w układzie odniesienia, którego centrum jest pewien punkt na tej płaszczyźnie (nie ma znaczenia jaki to punkt). Wiemy, że \(\displaystyle{ \vec{r}_k'(t)=[0,-20], \vec{r}_s'(t)=[50,0]}\). Wektor prędkości kropli deszczu, w układzie odniesienia, którego centrum jest samochód jest równy pochodnej funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto r_k(t)-r_s(t)}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{v}=[0,-20]-[50,0]=[-50,-20]}\). Pozostaje policzyć kąt, który ten wektor tworzy z pionem.
Dodano po 40 minutach 16 sekundach:
Odnośnie b)
Zastanów się najpierw jaka ilość deszczu spada na dach domu nachylony pod danym kątem \(\displaystyle{ \beta}\).
Re: Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 08:35
autor: kruszewski
Kąt padania kropli.
Zauważ proszę, że kropla deszczu porusza się względem szyby z pionową prędkością opadania i poziomą ruchu (jazdy) samochodu. Wektor prędkości wypadkowej znajdziesz składając wektory tych dwu prędkoścci jako że są to jej składowe. Narysuj teraz prostą nachyloną do pionu pod kątem równym nachyleniu szyby auta. Kąt padania kropli powinien być już widoczny.
Re: Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 15:01
autor: JulWoj123
matmatmm pisze: 14 paź 2020, o 02:31
Odnośnie punktu a):
Wybierzmy pewną kroplę deszczu, która spadnie na szybę samochodu i rozważmy płaszczyznę wyznaczoną przez tory ruchu samochodu i tej kropli. Niech
\(\displaystyle{ \vec{r}_k(t), \vec{r}_s(t)}\) oznaczają odpowiednio wektory położenia kropli deszczu i samochodu w chwili
\(\displaystyle{ t}\) w układzie odniesienia, którego centrum jest pewien punkt na tej płaszczyźnie (nie ma znaczenia jaki to punkt). Wiemy, że
\(\displaystyle{ \vec{r}_k'(t)=[0,-20], \vec{r}_s'(t)=[50,0]}\). Wektor prędkości kropli deszczu, w układzie odniesienia, którego centrum jest samochód jest równy pochodnej funkcji
\(\displaystyle{ t\mapsto r_k(t)-r_s(t)}\), czyli
\(\displaystyle{ \vec{v}=[0,-20]-[50,0]=[-50,-20]}\). Pozostaje policzyć kąt, który ten wektor tworzy z pionem.
Dodano po 40 minutach 16 sekundach:
Odnośnie b)
Zastanów się najpierw jaka ilość deszczu spada na dach domu nachylony pod danym kątem
\(\displaystyle{ \beta}\).
Myślę, że wiem już skąd wzięło się to
\(\displaystyle{ [-50,-20]}\).
Teraz ten kąt.. ( nie wiem, czy teraz nie powiem totalnej głupoty)
Czy mogę skorzystać ze wzoru na cosinus kąta między wektorami z użyciem iloczynu skalarnego? Czy moim drugim wektorem jest ten wektor
\(\displaystyle{ [0, -20]}\) ?
Re: Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 15:14
autor: matmatmm
Można, ale szybszym sposobem jest policzenie tangensa tego kąta.
Re: Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 16:20
autor: kerajs
Dobrym nawykiem jest, przed rozwiązywaniem zadania, wyrażanie danych w tych samych jednostkach. Powyżej, niestety o tym zapomniano i wektory tam użyte są błędne.
Re: Zadanie wektory
: 14 paź 2020, o 19:56
autor: janusz47
Rysunek
Proszę wziąć pod uwagę wskazówkę Pana Kruszewskiego.
Obliczamy wartość prędkości samochodu względem deszczu \(\displaystyle{ u =...}\)
Musimy oznaczyć inną literką kąt padania kropel deszczu (niż kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) nachylenia szyby), na przykład kąt \(\displaystyle{ \beta. }\)
\(\displaystyle{ \sin(\beta) = ..., \cos(\beta) =...}\)
Na nachyloną szybę samochodu w jednostce czasu spada tyle kropli deszczu, ile znajduje się w graniastosłupie ukośnym o tworzącej (krawędzi) \(\displaystyle{ u }\) o powierzchni podstawy \(\displaystyle{ S }\) (podstawą jest nachylona szyba samochodu) i wysokości \(\displaystyle{ h = u\sin(\gamma), \ \ \gamma = \alpha + \beta.}\)
Objętość \(\displaystyle{ V }\) tego graniastosłupa jest równa ...
Jeżeli w jednostce objętości znajduje się jednocześnie \(\displaystyle{ n \ \ ml }\) kropel deszczu, to ilość kropel spadających na nachyloną szybę w jednostce wynosi \(\displaystyle{ N = nV. }\)
Uwzględniając wartości \(\displaystyle{ V, \ \ \sin(\alpha), \ \ \cos(\beta) }\) znajdujemy \(\displaystyle{ N }\) i \(\displaystyle{ \frac{N}{S}. }\)
Pamiętamy o zgodności jednostek podczas obliczeń.
Re: Zadanie wektory
: 15 paź 2020, o 00:57
autor: JulWoj123
janusz47 pisze: 14 paź 2020, o 19:56
Rysunek
Proszę wziąć pod uwagę wskazówkę Pana Kruszewskiego.
Obliczamy wartość prędkości samochodu względem deszczu
\(\displaystyle{ u =...}\)
Musimy oznaczyć inną literką kąt padania kropel deszczu (niż kąt
\(\displaystyle{ \alpha }\) nachylenia szyby), na przykład kąt
\(\displaystyle{ \beta. }\)
\(\displaystyle{ \sin(\beta) = ..., \cos(\beta) =...}\)
Na nachyloną szybę samochodu w jednostce czasu spada tyle kropli deszczu, ile znajduje się w graniastosłupie ukośnym o tworzącej (krawędzi)
\(\displaystyle{ u }\) o powierzchni podstawy
\(\displaystyle{ S }\) (podstawą jest nachylona szyba samochodu) i wysokości
\(\displaystyle{ h = u\sin(\gamma), \ \ \gamma = \alpha + \beta.}\)
Objętość
\(\displaystyle{ V }\) tego graniastosłupa jest równa ...
Jeżeli w jednostce objętości znajduje się jednocześnie
\(\displaystyle{ n \ \ ml }\) kropel deszczu, to ilość kropel spadających na nachyloną szybę w jednostce wynosi
\(\displaystyle{ N = nV. }\)
Uwzględniając wartości
\(\displaystyle{ V, \ \ \sin(\alpha), \ \ \cos(\beta) }\) znajdujemy
\(\displaystyle{ N }\) i
\(\displaystyle{ \frac{N}{S}. }\)
Pamiętamy o zgodności jednostek podczas obliczeń.
Hmmm... nie potrafię tego pojąć
Chyba mój rysunek jest nieprawidłowy
Re: Zadanie wektory
: 15 paź 2020, o 12:02
autor: kruszewski
To proszę go pokazać.
Dodano po 2 godzinach 52 minutach 57 sekundach:
Proszę zauważyć, że w treści zadania napisano: deszcz poda pionowo, czyi na poziomą pwierzchnie \(\displaystyle{ 1 m^2}\) pada \(\displaystyle{ U }\)ml w czasie\(\displaystyle{ t= 1}\) minuta. A na nachyloną pod kątem , zatem dłuższą, tyle samo, z tym, że wtedy \(\displaystyle{ U}\) ml pada na na powierzchnie większą, zatem na \(\displaystyle{ 1 m^2}\) przypada \(\displaystyle{ U_1= U \cdot \sin \alpha .}\)
W czasie \(\displaystyle{ t = 1}\) minuta na powierzchnię \(\displaystyle{ 1 m^2}\) szyby w ruchu spadnie tyle razy więcej niż na szybę bez ruchu, ile razy prędkość \(\displaystyle{ V }\) ruchu szyby jest większa od prędkości \(\displaystyle{ v}\) opadania kropli.
Zatem \(\displaystyle{ Q = U_1 \cdot \frac{V }{v} = U \cdot \sin \alpha \cdot \frac{V}{v} }\)
Re: Zadanie wektory
: 15 paź 2020, o 13:02
autor: janusz47
Można też znaleźć stosunek ilości wody, który spada na przednią szybę i górną maskę samochodu (czy szyberdach, jeśli samochód posiada szyberdach).